Составить 10 задач средней сложности по теме криволинейные интегралы

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, Криволинейные интегралы

10 задач по теме «Криволинейные интегралы»

Задачи на криволинейные интегралы первого рода

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
   \int_{L} (x^2 + y^2) ds,
   где L — дуга окружности x^2 + y^2 = 4 от точки (2,0) до точки (0,2).

2. Найти длину кривой L, заданной параметрически:
   x = t^2, \quad y = t^3, t \in [0,2].

3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
   \int_{L} (x + y) ds,
   где L — верхняя половина эллипса \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1.

4. Найти криволинейный интеграл
   \int_{L} (x^2 + y^2) ds,
   если L — отрезок прямой y = 2x от точки (0,0) до точки (1,2).

5. Вычислить криволинейный интеграл
   \int_{L} e^x ds,
   где L — дуга параболы y = x^2 от точки (0,0) до точки (1,1).

Задачи на криволинейные интегралы второго рода

6. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
   \int_{L} (y dx + x dy),
   где L — окружность x^2 + y^2 = 1, ориентированная против часовой стрелки.

7. Найти криволинейный интеграл
   \int_{L} (x^2 dx + y^2 dy),
   если L — ломаная, состоящая из отрезков (0,0) \to (1,0) и (1,0) \to (1,1).

8. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
   \int_{L} (x dx + y dy),
   где L — параметрически заданная кривая:
   x = t^2, \quad y = t^3, t \in [0,1].

9. Доказать, что криволинейный интеграл
   \int_{L} (y dx - x dy)
   вдоль замкнутой кривой L, являющейся границей области x^2 + y^2 \leq 4, равен нулю.

10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
    \int_{L} (x^3 dx + y^3 dy),
    где L — окружность x^2 + y^2 = 9, ориентированная против часовой стрелки.

Эти задачи помогут закрепить понимание криволинейных интегралов первого и второго рода, а также их применение в различных ситуациях.