Составить 10 задач средней сложности по теме частные производные

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные

Ниже составлены 10 задач средней сложности по теме частные производные. Каждая задача предполагает знание базовых понятий: частная производная, градиент, касательная плоскость, направление наибольшего возрастания функции и т.д.

Задача 1

Найдите частные производные первого порядка функции
f(x, y) = x^2y + \sin(xy)
по переменным x и y.

Задача 2

Пусть f(x, y) = e^{xy} + x^2y^3.
Найдите смешанную производную \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}.

Задача 3

Проверьте, равны ли смешанные производные второго порядка функции
f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)
в точке (1, 1): \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} и \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.

Задача 4

Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности
z = x^2 + y^2 - xy
в точке (1, 2, f(1, 2)).

Задача 5

Пусть f(x, y) = x^3y - y^2x.
Найдите направление, в котором функция возрастает наиболее быстро в точке (1, 2).

Задача 6

Функция задана неявно уравнением F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0.
Найдите \frac{\partial z}{\partial x} с использованием неявной функции.

Задача 7

Найдите все точки, в которых градиент функции
f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y
равен нулю.

Задача 8

Проверьте, является ли функция
f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy
гармонической, т.е. удовлетворяет ли она уравнению Лапласа:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0.

Задача 9

Найдите частные производные функции
f(x, y, z) = x \cdot \ln(yz)
по всем переменным x, y, z.

Задача 10

Пусть f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}.
Исследуйте существование и непрерывность частных производных в точке (0, 0).

Если нужно, могу также предоставить решения к этим задачам.