Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Сходится ли ряд Фурье для четной функции, имеющей период 2п и равной х при 0 < x < п, равномерно по х € R
Условие:
Сходится ли ряд Фурье для четной функции, имеющей период 2п и равной х при 0 < x < п, равномерно по х € R?
Решение:
Данное задание относится к предмету "Математика", разделу "Функциональный анализ" или "Теория рядов Фурье".
Чтобы решить задачу, сначала разберем основное условие: дана четная функция \( f(x) \), имеющая период \( 2\pi \) и равная \( x \) при \( 0 < x < \pi \). Четная функция \( f(x) \) такова, что \( f(-x) = f(x) \). Поскольку \( f(x) \) имеет период \( 2\pi \), мы можем определить её следующим образом на каждом периоде:
\[ f(x) = \begin{cases} x & -\pi < x < \pi \\ f(x+2k\pi) & k \in \mathbb{Z} \end{cases} \]Функция \( f(x) \) равна \( |x| \), перенесённая в периодическую и четную форму:
\[ f(x) = x \quad \text{при} \quad 0 < x < \pi \] \[ f(x) = -x \quad \text{при} \quad -\pi < x < 0 \]Теперь рассмотрим ряд Фурье для этой функции. Поскольку функция четная, она раскладывается только в косинусный ряд Фурье:
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(nx) \]Коэффициенты ряда Фурье найдём как:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \quad \text{для} \; n \geq 1 \]Выполним интегрирование:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{\pi} x \, dx \right) \]Посчитаем каждый интеграл отдельно:
\[ \int_{-π}^{0} (-x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-π}^{0} = 0 - \frac{π^2}{2} = -\frac{π^2}{2} \] \[ \int_{0}^{π} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{π} = \frac{π^2}{2} - 0 = \frac{π^2}{2} \]Суммируем эти части:
\[ \int_{-π}^{π} f(x) \, dx = -\frac{π^2}{2} + \frac{π^2}{2} = 0 \] \[ a_0 = \frac{1}{π} \cdot 0 = 0 \]Теперь найдём \( a_n \):
\[ a_n = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x \cos(nx) \, dx \]Этот интеграл можно вычислить методом интегрирования по частям. Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \). Пусть \( dv = \cos(nx) dx \), тогда \( v = \frac{\sin(nx)}{n} \). Применяем формулу интегрирования по частям:
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] \[ \int_{0}^{π} x \cos(nx) \, dx = \left[ x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^π - \int_0^π \frac{\sin(nx)}{n} \, dx \]Считаем крайние значения:
\[ \left[ x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^π = \frac{π \sin(nπ)}{n} - 0 = \frac{π \cdot 0}{n} = 0 \]Теперь считаем интеграл:
\[ \int_{0}^{π} \frac{\sin(nx)}{n} \, dx = \frac{1}{n} \int_{0}^{π} \sin(nx) \, dx \]Вновь используем интегрирование по частям или табличное значение интеграла:
\[ \int \sin(nx) \, dx = -\frac{\cos(nx)}{n} \] \[ \frac{1}{n} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^π = \frac{1}{n} \left( -\frac{\cos(nπ)}{n} + \frac{\cos(0)}{n} \right) = \frac{1}{n^2} (1 - (-1)^n) \]Рассмотрим результат:
\[ 1 - (-1)^n \]Для четных \( n \) это будет 0, для нечетных \( n \) это будет 2. Итак, коэффициенты \( a_n \) будут равны нулю для четных \( n \) и удвоенные для нечетных \( n \). Ряд Фурье для указанной функции будет равномерно сходиться потому, что это удовлетворяет теоремам о равномерной сходимости: функция непрерывна и кусочно-гладка. Таким образом, ряд Фурье этой функции сходится равномерно по \( x \in \mathbb{R} \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку