Сходимость последовательностей и рядов

Предмет: Математический анализ

Раздел: Сходимость последовательностей и рядов

Критерий Коши для последовательностей

Последовательность \{ x_n \} называется сходящейся, если для любого \varepsilon > 0 существует номер N, такой что для всех m, n > N выполняется неравенство:

|x_n - x_m| < \varepsilon.

Если это условие выполняется, то последовательность является фундаментальной (или последовательностью Коши) и, следовательно, сходится.

Исследование сходимости последовательности

Задана последовательность:

x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k+1}}

Исследуем ее на сходимость по критерию Коши. Для этого рассмотрим разность:

|x_n - x_m| = \sum\limits_{k=m+1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.

Если последовательность сходится, то эта сумма должна стремиться к нулю при m, n \to \infty. Однако, рассмотрим поведение общего члена:

\frac{1}{\sqrt{2k+1}}

При больших k ведет себя как \frac{1}{\sqrt{2k}}, что сравнимо с членами расходящегося гармонического ряда вида \frac{1}{\sqrt{k}}. Так как интеграл

\int \frac{dx}{\sqrt{x}}

расходится, то и сумма \sum \frac{1}{\sqrt{2k+1}} также расходится.

Следовательно, последовательность x_n не является фундаментальной, а значит, расходится.