Сделать предположение о пределе последовательности и доказать его существование по определению

Предмет: Математика, раздел: Математический анализ (Тема: Пределы последовательностей и функций)

Задание: Найти предел функции при \( n \to \infty \).

Выражение: \[\lim_{n \to \infty} \frac{12n - 2}{5n - 2}\]

Шаг 1: Примерное предположение о пределе

В данном случае мы имеем рациональную функцию от \(n\). При стремлении \( n \to \infty \), старшие члены полинома будут доминировать над постоянными. Таким образом, можно предположить, что предел будет равен отношению коэффициентов при \(n\) в числителе и знаменателе. То есть: \[\lim_{n \to \infty} \frac{12n - 2}{5n - 2} = \frac{12}{5}\]

Шаг 2: Доказательство предела

Для того чтобы доказать наше предположение, мы разделим числитель и знаменатель дроби на \(n\). \[\frac{12n - 2}{5n - 2} = \frac{n(12 - \frac{2}{n})}{n(5 - \frac{2}{n})} = \frac{12 - \frac{2}{n}}{5 - \frac{2}{n}}\] Теперь, если \(n \to \infty\), то \(\frac{2}{n} \to 0\). Следовательно: \[\lim_{n \to \infty} \frac{12 - \frac{2}{n}}{5 - \frac{2}{n}} = \frac{12 - 0}{5 - 0} = \frac{12}{5}\]

Ответ: \[\boxed{\frac{12}{5}}\]

Таким образом, предел данной последовательности равен \( \frac{12}{5} \).