Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
С помощью перехода к полярным координатам найти интеграл
Условие:
Решение:
Этот пример относится к предмету «Математика», а конкретно к разделу «Математический анализ», подразделу «Многомерные интегралы» или «Площадь и объемы».
Давайте решим данный интеграл, используя переход к полярным координатам.
Дано:
Интеграл по области \(D\), где:
\[ A = \{(x, y) : x^2 + y^2 + 25 \leq 8x + 10y\} \] \[ B = \{(x, y) : x \leq 4, y \leq 5 \} \]Шаг 1: Перепишем уравнение области \( A \) в более удобной для анализа форме.
Начнем с преобразования неравенства \( x^2 + y^2 + 25 \leq 8x + 10y \):
\[ x^2 + y^2 + 25 \leq 8x + 10y \] \[ x^2 - 8x + y^2 - 10y \leq -25 \]Приведем к виду:
\[ (x^2 - 8x) + (y^2 - 10y) \leq -25 \]Добавим и вычтем необходимое:
\[ (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) \leq -25 + 16 + 25 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 \leq 16 \]Это уравнение окружности с центром в точке \((4, 5)\) и радиусом \(4\).
Шаг 2: Найдем область, откуда нужно вычесть регион \( B \):
\[ B = \{(x, y) : x \leq 4, y \leq 5 \} \]Шаг 3: Переход к полярным координатам
В полярных координатах:
\[ x = r \cos \theta \] \[ y = r \sin \theta \]Интеграл примет вид:
\[ \iint_{D} (4y - 5x) \, dx \, dy \rightarrow \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R(\theta)} (4r\sin\theta - 5r\cos\theta) r \, dr \, d\theta \]где \( R(\theta) \) задает границу круга радиусом \( 4 \), полученную из области \( A \):
Шаг 4: Разобьем интеграл на части
\[ x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \] \[ r \in [0, 4] \] \[ \begin{aligned} &\int_{0}^{\pi/2} \left[\int_{0}^{4} (4r\sin\theta - 5r \cos \theta) r \, dr\right] d\theta = \\ & \int_{0}^{\pi/2} \left[\int_{0}^{4} (4r^2\sin\theta - 5r^2 \cos \theta) \,dr \right] d\theta \end{aligned} \]Шаг 5: Решим внутренний интеграл
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \left[ \sin \theta \cdot 4 \int_0^{4} r^2 \, dr - \cos \theta \cdot 5 \int_0^{4} r^2 \, dr \right] d\theta \end{aligned} \]Выполним интегралы:
\[ \int_{0}^{\pi/2} (4\sin\theta - 5\cos\theta) \left[ \int_{0}^{4} r^2 \, dr \right] \, d\theta \]Вычислим \(\int_0^{4} r^2 \, dr \):
\[ \int_{0}^{4} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} \]Подставим результат:
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} (4\sin \theta - 5\cos \theta) \cdot \frac{64}{3} \, d\theta = \frac{64/3} \left[ \int_{0}^{\pi/2} 4\sin \theta \, d\theta - \int_{0}^{\pi/2} 5\cos \theta \, d\theta \right] \end{aligned} \]Вычислим синус и косинус:
\[ \int_{0}^{\pi/2} 4 \sin \theta \, d\theta = \left[ -4 \cos \theta \right]_{0}^{\pi/2} = 4(0 + 1) = 4 \] \[ \int_{0}^{\pi/2} 5 \cos \theta \, d\theta = \left[ 5 \sin \theta \right]_{0}^{\pi/2} = 5(1 - 0) = 5 \]Подставляем числа:
\[ \frac{64}{3} \left( 4 - 5 \right) = \frac{64}{3} \left( -1 \right) = -\frac{64}{3} \]Ответ:
\[ \boxed{-\frac{64}{3}} \]Мы нашли значение данного двойного интеграла с использованием полярных координат.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку