С помощью перехода к полярным координатам найти интеграл

Эта задача связана с вычислением двойного интеграла с использованием полярных координат в области, определенной пересечением и вычитанием множеств \( A \) и \( B \).

1. Определение областей \(A\) и \(B\):
   • Множество \(A\) задается неравенством: \[ A = \{(x, y) : x^2 + y^2 + 22 \leq 2y - 10x\}. \]
   • Множество \(B\) задается неравенствами: \[ B = \{(x, y) : x \leq -5, y \geq 1\}. \]
   • Область \(D\) задается как разница множеств \(A\) и \(B\): \[ D = A \setminus B. \]
2. Переход к полярным координатам: Для удобства решения задачи, преобразуем область \(D\) в полярные координаты. В полярных координатах \(x = r \cos \theta\) и \(y = r \sin \theta\), где \(r \geq 0\) и \(0 \leq \theta < 2\pi\).
   • Неравенство для \(A\): \[ x^2 + y^2 + 22 \leq 2y - 10x. \]
   • Перепишем его в полярных координатах: \[ r^2 + 22 \leq 2r \sin \theta - 10r \cos \theta. \]
   • Приведем выражение к более удобному виду: \[ r^2 + 22 \leq r(2 \sin \theta - 10 \cos \theta). \]
   • Решим это относительно \(r\): \[ r^2 - r(2 \sin \theta - 10 \cos \theta) + 22 \leq 0. \]
   • Это квадратное уравнение относительно \(r\). Решим его для \(r\): \[ r = \frac{2 \sin \theta - 10 \cos \theta}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2 \sin \theta - 10 \cos \theta}{2}\right)^2 - 22}. \]
   • Это определяет границы для \(r\) в зависимости от \(\theta\).
3. Область \(B\): Преобразуем области для \(B\): \[ x = r \cos \theta \leq -5 \quad \text{и} \quad y = r \sin \theta \geq 1. \]
4. Определение пределов интегрирования: Теперь определим пределы интегрирования в полярных координатах для области \(D\): \[ D: \quad -5 \leq r \cos \theta, \quad r \sin \theta \geq 1. \]
5. Вычисление интеграла: Теперь можем переписать интеграл в полярных координатах: \[ \iint_D (x + 5y) \, dx \, dy = \iint_D \left(r \cos \theta + 5r \sin \theta\right) r \, dr \, d\theta. \] То есть получается: \[ \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_{\text{min}}(\theta)}^{r_{\text{max}}(\theta)} r (r \cos \theta + 5r \sin theta) \, dr \, d\theta. \] Мы интегрируем по границам \(D\), определенные преобразованием границ множество \(A\) и \(B\).
6. Окончательный шаг интегрирования: Выполните интегрирование по переменным \(r\) и \(\theta\). Этот общий план решения задачи предполагает применение метода перехода к полярным координатам и разбиение сложной области на более простые для вычисления интеграла.