С помощью криволинейного интеграла первого рода найдите массу M дуги плоской материальной кривой, заданной уравнениями а) и б)

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (криволинейные интегралы первого рода)

Решение

Масса ( M ) дуги плоской материальной кривой вычисляется с помощью криволинейного интеграла первого рода:

 M = \int_{L} \rho(x,y) \, ds 

где ( \rho(x, y) ) — линейная плотность, а ( ds ) — элемент дуги, который выражается через дифференциалы:

 ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. 

Рассмотрим оба случая отдельно.

Решение для пункта (а)

Дана кривая:
 y = 2\sqrt{x}, \quad \rho(x,y) = \frac{6x}{y}, \quad x \in [3, 15]. 

1. Вычисляем элемент дуги ( ds )

Дифференцируем ( y = 2\sqrt{x} ):

 \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}. 

Элемент дуги:

 ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \, dx = \sqrt{\frac{x+1}{x}} \, dx. 

2. Вычисляем интеграл массы

 M = \int_{3}^{15} \frac{6x}{y} \cdot ds. 

Так как ( y = 2\sqrt{x} ), то ( \frac{6x}{y} = \frac{6x}{2\sqrt{x}} = 3\sqrt{x} ), подставляем:

 M = \int_{3}^{15} 3\sqrt{x} \cdot \sqrt{\frac{x+1}{x}} \, dx. 

Преобразуем:

 M = 3 \int_{3}^{15} \sqrt{x} \cdot \sqrt{\frac{x+1}{x}} \, dx = 3 \int_{3}^{15} \sqrt{x+1} \, dx. 

Решаем интеграл:

 \int \sqrt{x+1} \, dx = \frac{2}{3} (x+1)^{3/2}. 

Подставляем пределы:

 M = 3 \cdot \frac{2}{3} \left[ (15+1)^{3/2} - (3+1)^{3/2} \right] = 2 \left[ 16^{3/2} - 4^{3/2} \right]. 

Так как ( 16^{3/2} = 64 ) и ( 4^{3/2} = 8 ), получаем:

 M = 2 (64 - 8) = 2 \times 56 = 112. 

Ответ для пункта (а):
M = 112.

Решение для пункта (б)

Параметрически заданная кривая:

 \begin{cases} x = \ln t, \ y = \frac{1}{t}, \ \rho(x,y) = \frac{3e^x}{y^2}, \quad t \in [1, \sqrt{2}]. \end{cases} 

1. Вычисляем элемент дуги ( ds )

Находим производные:

 \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}, \quad \frac{dy}{dt} = -\frac{1}{t^2}. 

Элемент дуги:

 ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt = \sqrt{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t^4}} \, dt. 

Вынесем общий множитель ( \frac{1}{t^2} ):

 ds = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2}} \, dt = \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t^2} \, dt. 

2. Вычисляем интеграл массы

 M = \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{3e^x}{y^2} \cdot ds. 

Так как ( e^x = t ) и ( y^2 = \frac{1}{t^2} ), то:

 \frac{3e^x}{y^2} = 3t \cdot t^2 = 3t^3. 

Подставляем:

 M = \int_{1}^{\sqrt{2}} 3t^3 \cdot \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t^2} \, dt. 

Упрощаем:

 M = 3 \int_{1}^{\sqrt{2}} t \sqrt{t^2 + 1} \, dt. 

Используем подстановку ( u = t^2 + 1 ), тогда ( du = 2t \, dt ), получаем:

 M = \frac{3}{2} \int_{2}^{3} \sqrt{u} \, du. 

Решаем интеграл:

 \int \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2}. 

Подставляем пределы:

 M = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \left[ 3^{3/2} - 2^{3/2} \right] = \frac{2}{2} \left[ 3^{3/2} - 2^{3/2} \right]. 

Так как ( 3^{3/2} = 3\sqrt{3} ) и ( 2^{3/2} = 2\sqrt{2} ), то:

 M = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}. 

Ответ для пункта (б):
M = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}.