Ряды Тейлора и Маклорена

Предмет: Математический анализ
Раздел: Ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим функцию:
 f(x) = \ln(6 - x - x^2) 

Шаг 1: Представление функции в удобном виде

Для разложения в ряд Маклорена (разложение в окрестности x = 0) попробуем представить функцию в виде, удобном для разложения. Введем подстановку:
 6 - x - x^2 = 6 \left( 1 - \frac{x + x^2}{6} \right) 

Тогда:
 f(x) = \ln 6 + \ln \left(1 - \frac{x + x^2}{6} \right) 

Используем разложение \ln(1 + u) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-u)^n}{n} при |u| < 1.

Здесь u = -\frac{x + x^2}{6}, поэтому:
 \ln(1 - u) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-u)^n}{n} = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (x + x^2)^n}{6^n n} 

Шаг 2: Разложение в ряд

Рассмотрим первые несколько членов ряда:
 (x + x^2)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k x^k (x^2)^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k x^{k+2(n-k)} = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k x^{2n-k} 

Подставляя это в сумму, получаем:
 f(x) = \ln 6 - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n 6^n} \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k x^{2n-k} 

Для первых членов ряда:

• При n = 1:  -\frac{x + x^2}{6} 
• При n = 2:  -\frac{(x + x^2)^2}{12} \approx -\frac{x^2}{12} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} 

Окончательно:
 f(x) = \ln 6 - \frac{x}{6} - \frac{x^2}{6} - \frac{x^2}{12} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + \dots 
 f(x) = \ln 6 - \frac{x}{6} - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + \dots 

Шаг 3: Область сходимости

Ряд Маклорена сходится, если |x + x^2| < 6, то есть:
 -6 < x + x^2 < 6 

Решая квадратное неравенство -6 < x + x^2 < 6, находим, что ряд сходится при:
 -3 < x < 2 

Ответ:

Разложение в ряд Маклорена:
 f(x) = \ln 6 - \frac{x}{6} - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{12} + \dots 
Область сходимости: -3 < x < 2.