Ряды Фурье. Полная система в пространстве L2(Q). Теорема Гильберта Шмидта.

Предмет: Математический анализ
Раздел: Функциональный анализ, теория ортогональных рядов, пространства Лебега, теория Фурье

Задание касается следующих тем:

1. Ряды Фурье — представление функций в виде суммы тригонометрических функций.
2. Полная система в пространстве L²(Q) — обсуждение того, когда система функций образует базис в пространстве квадратно-интегрируемых функций.
3. Теорема Гильберта–Шмидта — результат о компактных самосопряжённых операторах в гильбертовом пространстве, часто используемый в теории интегральных уравнений.

1. Ряды Фурье

Пусть функция f \in L^2([-\pi, \pi]). Тогда её ряд Фурье имеет вид:

 f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right), 

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

 a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx. 

Ряд Фурье сходится к функции f в смысле нормы L^2, то есть:

 \left\| f - S_N(f) \right\|_{L^2} \to 0, \quad \text{при } N \to \infty, 

где S_N(f) — частичная сумма ряда Фурье.

2. Полная система в пространстве L^2(Q)

Пусть Q = [a, b] — конечный отрезок. Пространство L^2(Q) состоит из всех измеримых функций f: Q \to \mathbb{C} таких, что:

 \int_{a}^{b} |f(x)|^2 dx < \infty. 

Система функций \{\phi_n\}_{n=1}^\infty называется полной в L^2(Q), если для любой функции f \in L^2(Q) и любого \varepsilon > 0 существует конечная линейная комбинация \sum_{n=1}^N c_n \phi_n, такая что:

 \left\| f - \sum_{n=1}^N c_n \phi_n \right\|_{L^2(Q)} < \varepsilon. 

Пример полной ортонормированной системы: тригонометрическая система \{1, \cos(nx), \sin(nx)\}_{n=1}^\infty в L^2([-\pi, \pi]).

3. Теорема Гильберта–Шмидта

Теорема Гильберта–Шмидта утверждает:

Пусть T: H \to H — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда:

1. Существует ортонормированный базис из собственных функций \{e_n\} оператора T.
2. Оператор T имеет представление:

 T f = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n \langle f, e_n \rangle e_n, 

где \lambda_n — собственные значения T, стремящиеся к нулю.

3. Если T — интегральный оператор с ядром K(x, y):

 T f(x) = \int_Q K(x, y) f(y) \, dy, 

и K \in L^2(Q \times Q), то T — оператор Гильберта–Шмидта, и можно применить спектральную теорему.

Вывод

• Ряды Фурье позволяют разложить любую функцию из L^2([-\pi, \pi]) в ортонормированный ряд по тригонометрической системе.
• Эта система полна в L^2, что означает, что любой элемент пространства может быть представлен в виде ряда Фурье.
• Теорема Гильберта–Шмидта обосновывает существование ортонормированного базиса из собственных функций для компактных самосопряжённых операторов, что лежит в основе теории Фурье и спектрального анализа.