Решить задание по криволинейным интегралам первого рода

Предмет: Математический анализ

Раздел: Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейный интеграл первого рода вычисляется по формуле:

 I = \int\limits_L \rho(x,y) ds 

где \rho(x,y) — заданная плотность, а ds — элемент длины дуги, который выражается через параметрическое задание кривой:

 ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt 

1. Вычислим производные

Дана параметризация:

 x = t^2 - 2t, \quad y = t^2 + 2t 

Найдем производные:

 \frac{dx}{dt} = 2t - 2, \quad \frac{dy}{dt} = 2t + 2 

2. Найдем элемент длины дуги

 ds = \sqrt{(2t - 2)^2 + (2t + 2)^2} dt 

Раскрываем скобки:

 ds = \sqrt{4t^2 - 8t + 4 + 4t^2 + 8t + 4} dt 

 ds = \sqrt{8t^2 + 8} dt 

 ds = \sqrt{8(t^2 + 1)} dt 

3. Подставляем функцию плотности

Функция \rho(x,y):

 \rho(x,y) = \frac{x - y}{7} 

Подставляем выражения для x и y:

 x - y = (t^2 - 2t) - (t^2 + 2t) = -4t 

Следовательно,

 \rho(x,y) = \frac{-4t}{7} 

4. Вычисляем интеграл

 I = \int\limits_1^{\sqrt{7}} \frac{-4t}{7} \cdot \sqrt{8(t^2 + 1)} dt 

Вынесем константы за знак интеграла:

 I = -\frac{4\sqrt{8}}{7} \int\limits_1^{\sqrt{7}} t \sqrt{t^2 + 1} dt 

Используем подстановку:

 u = t^2 + 1, \quad du = 2t dt 

Тогда интеграл принимает вид:

 \frac{1}{2} \int \sqrt{u} du 

Вычисляем:

 \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{3} (t^2 + 1)^{3/2} 

Подставляем пределы:

 I = -\frac{4\sqrt{8}}{7} \cdot \frac{1}{3} \left[ (\sqrt{7}^2 + 1)^{3/2} - (1^2 + 1)^{3/2} \right] 

 I = -\frac{4\sqrt{8}}{21} \left[ (7 + 1)^{3/2} - (1 + 1)^{3/2} \right] 

 I = -\frac{4\sqrt{8}}{21} \left[ 8^{3/2} - 2^{3/2} \right] 

Так как 8^{3/2} = 8\sqrt{8} и 2^{3/2} = 2\sqrt{2}, то:

 I = -\frac{4\sqrt{8}}{21} \left[ 8\sqrt{8} - 2\sqrt{2} \right] 

 I = -\frac{4\sqrt{8}}{21} \cdot 2\sqrt{2} (4\sqrt{2} - 1) 

 I = -\frac{8\sqrt{16}}{21} (4\sqrt{2} - 1) 

 I = -\frac{32}{21} (4\sqrt{2} - 1) 

Это и есть окончательный ответ.