Решить задание на нахождение доверительных интервалов для дисперсии генеральной совокупности

Этот вопрос относится к математической статистике и анализа данных, а особенно к теме доверительных интервалов для дисперсии генеральной совокупности. Давайте решим задачу пошагово.

Условия задачи:

• \[ S^2 = 4.8 \]: выборочная дисперсия
• \[ n = 40 \]: размер выборки
• \[ u_1 = 21 \]: ??
• \[ u_2 = 42 \]: ??

Шаги решения:

1. Найдём границы доверительного интервала для дисперсии: Используем формулы для доверительного интервала для дисперсии: \[ \left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2}; \frac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2} \right] \] где:
   • \(\chi_{\alpha/2}^2\) и \(\chi_{1-\alpha/2}^2\) — критические значения распределения хи-квадрат с \(n-1\) степенью свободы.
   • \( \alpha \) — уровень значимости. В данной задачи \(\alpha\) не указан, будем использовать \(0.05\) (уровень значимости \(5%\)), если не дано другое в условии.
2. Числовая подстановка:
   • Размер выборки \(n = 40\), тогда число степеней свободы \(n-1 = 39\).
   • Выборочная дисперсия \(S^2 = 4.8\).
   Теперь найдем критические значения хи-квадрат. Для \(\alpha = 0.05\):
   • \[\chi_{0.975, 39}^2 \approx 59.34\]
   • \[\chi_{0.025, 39}^2 \approx 24.34\]
3. Подсчёт доверительных границ:
   • \[L = \frac{(40-1) \cdot 4.8}{59.34} \approx \frac{39 \cdot 4.8}{59.34} \approx \frac{187.2}{59.34} \approx 3.15\]
   • \[U = \frac{(40-1) \cdot 4.8}{24.34} \approx \frac{39 \cdot 4.8}{24.34} \approx \frac{187.2}{24.34} \approx 7.69\]

Итоги:

Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности:

\[ 3.15 < DX < 7.69 \]

Пункт D (\[ 4.5 < DX < 8.9 \]) ближе всего к найденному интервалу, так, это верный ответ на задачу.