Решить задачу об остывании прямоугольника

Это задача из курса по математическому анализу, конкретно это задача связана с решением уравнения теплопроводности (или диффузии) в двумерной области. Давайте разберем и решим задачу.

Исходное уравнение

Мы имеем уравнение теплопроводности: ∂u/∂t = 25(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²), в области 0 < x < π, 0 < y < π, с начальными и краевыми условиями:

1. u(x, y, 0) = 5 sin(4x) sin(3y).
2. u(0, y, t) = u(π, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, π, t) = 0.

Метод разделения переменных

Мы используем метод разделения переменных для решения задачи. Предположим, что решение имеет вид: u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t).

Подставим это в основное уравнение:

∂(X(x)Y(y)T(t))/∂t = 25(∂²(X(x)Y(y)T(t))/∂x² + ∂²(X(x)Y(y)T(t))/∂y²).

Это можно разделить на:

X(x)Y(y)dT/dt = 25[T(t)(Y(y)d²X/dx² + X(x)d²Y/dy²)].

Путем отделения переменных приведем к:

1/T dT/dt = 25(1/X d²X/dx² + 1/Y d²Y/dy²) = -λ.

Полученные уравнения

Таким образом, у нас получается три уравнения:

1. dT/dt + λT = 0
2. d²X/dx² + (λ/25)X = 0
3. d²Y/dy² + (λ/25)Y = 0

Решение первого уравнения

Решим первое уравнение:

T(t) = Ce^-λt.

Решение для X(x) и Y(y)

Для второго и третьего уравнений, у нас есть краевые условия, поэтому это будут задачи на собственные значения.

Для X(x) уравнение имеет вид: d²X/dx² + (λ/25)X = 0, с условиями X(0) = 0 и X(π) = 0. Это приводит к решениям вида:

X(x) = sin(nx), где n - целое число, и λ = 25n².

Для Y(y) уравнение аналогично: d²Y/dy² + (λ/25)Y = 0, с условиями Y(0) = 0 и Y(π) = 0. Решение:

Y(y) = sin(my), где m - целое число, и λ = 25m².

Общее решение

Собранное общее решение:

u(x, y, t) = ΣΣA_nm sin(nx) sin(my) e^{-25(n²+m²)t}.

Применение начальных условий

Теперь применим начальное условие u(x, y, 0) = 5 sin(4x) sin(3y):

5 sin(4x) sin(3y) = ΣΣA_nm sin(nx) sin(my).

Из этого получаем, что A₄₃ = 5, а все остальные коэффициенты A_nm = 0.

Окончательное решение

Таким образом, окончательное решение имеет вид:

u(x, y, t) = 5 sin(4x) sin(3y) e^{-25(4²+3²)t}.

Это и есть полное решение задачи об остывании прямоугольника.