Решить выражение с использованием арифметических операций с комплексными числами

Этот пример относится к разделу "Комплексные числа" (предмет: алгебра или математический анализ). Требуется решить выражение с использованием арифметических операций с комплексными числами. Начнем по порядку и разберем пример подробно.

Шаг 1: Вычисление произведения комплексных чисел в числителе первой дроби.

В числителе дроби у нас произведение двух комплексных чисел: \( (5 - 3i) \) и \( (-3 - 2i) \). Используем формулу умножения комплексных чисел:

\[ (z_1)(z_2) = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

Для \( (5 - 3i)(-3 - 2i) \):

\[ a = 5, \quad b = -3, \quad c = -3, \quad d = -2. \]

Вычисляем вещественную часть:

\[ 5 \cdot (-3) - (-3)\cdot(-2) = -15 - 6 = -21. \]

Теперь вычисляем мнимую часть:

\[ 5 \cdot (-2) + (-3)\cdot(-3) = -10 + 9 = -1. \]

Таким образом, произведение двух комплексных чисел равно:

\[ (5 - 3i)(-3 - 2i) = -21 - i. \]

Шаг 2: Деление произведения на \( (4 + i) \).

Теперь разделим результат \( -21 - i \) на \( 4 + i \). Для деления комплексных чисел используется метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Сопряжённое число для \( 4 + i \) — это \( 4 - i \). Выполняем умножение числителя и знаменателя на \( 4 - i \):

\[ \frac{-21 - i}{4 + i} = \frac{(-21 - i)(4 - i)}{(4 + i)(4 - i)}. \]

Начнем с вычисления знаменателя:

\[ (4 + i)(4 - i) = 4^2 - i^2 = 16 - (-1) = 16 + 1 = 17. \]

Теперь числитель:

\[ (-21 - i)(4 - i) = -21 \cdot 4 - 21 \cdot (-i) - i \cdot 4 - i \cdot (-i) = -84 + 21i - 4i - i^2. \]

Так как \( i^2 = -1 \), то это даёт нам:

\[ = -84 + 21i - 4i + 1 = -83 + 17i. \]

Теперь можем выполнить деление:

\[ \frac{-83 + 17i}{17} = -\frac{83}{17} + \frac{17i}{17} = -4.88 + i. \]

Шаг 3: Следующий элемент: \( |1 + 3i|^2 \).

Теперь найдем квадрат модуля комплексного числа \( 1 + 3i \). Модуль комплексного числа \( z = a + bi \) вычисляется по формуле:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}. \]

Для \( 1 + 3i \):

\[ |1 + 3i| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}. \]

Требуется вычислить \( |1 + 3i|^2 \):

\[ |1 + 3i|^2 = (\sqrt{10})^2 = 10. \]

Шаг 4: Вычисление \( -i^5(-1 + 4i) \).

Теперь вычислим \( i^5 \). Поскольку цикличность степеней \( i \) имеет период 4 (то есть \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \), \( i^4 = 1 \)), мы можем упростить:

\[ i^5 = i^{4+1} = i^1 = i. \]

Теперь вычисляем:

\[ -i^5(-1 + 4i) = -i(-1 + 4i) = (-i) \cdot (-1) + (-i) \cdot 4i = i - 4i^2. \]Так как \( i^2 = -1 \):

\[ i - 4(-1) = i + 4 = 4 + i. \]

Шаг 5: Суммируем все результаты.

Теперь, когда все элементы решены, можем их сложить:

1) Результат первой дроби: \( -4.88 + i \),

2) \( |1 + 3i|^2 = 10 \),

3) \( -i^5(-1 + 4i) = 4 + i \).

Суммируем:

\[ (-4.88 + i) + 10 - (4 + i). \]

\[ (-4.88 + 10 - 4) + (i - i) = 1.12 + 0 = 1.12. \]

Окончательный ответ: Решение данного выражения равно \( 1.12 \).

Вычтем и сложим вещественные и мнимые части отдельно: