Решить уравнение, используя начальное условие

Предмет и раздел:

Условие:

Дано дифференциальное уравнение: \[ 2(y' + y) = xy^2, \quad y(0) = 2. \]
Необходимо решить это уравнение, используя начальное условие \(y(0) = 2\).

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Начнём с раскрытия скобок в левой части уравнения: \[ 2(y' + y) = 2y' + 2y, \]
следовательно, наше уравнение преобразуется в: \[ 2y' + 2y = xy^2. \]
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить: \[ y' + y = \frac{xy^2}{2}. \]
Теперь мы имеем упрощённое дифференциальное уравнение: \[ y' + y = \frac{xy^2}{2}. \]

Шаг 2. Применяем метод разделения переменных

Для решения этого уравнения воспользуемся методом разделения переменных. Перепишем его следующим образом: \[ y' = \frac{xy^2}{2} - y. \]
Объединим правую часть для удобства: \[ y' = y\left( \frac{xy}{2} - 1\right). \]
Теперь разделим переменные \( y \) и \( x \) по разным сторонам уравнения: \[ \frac{dy}{y \left( \frac{xy}{2} - 1\right)} = dx. \]
Попробуем решать это уравнение непосредственно. Однако на данном этапе техника разделения переменных может оказаться сложной, и можно попробовать альтернативные способы (например, метод вариации постоянных).

Это задача из курса математического анализа, точнее, из раздела, посвящённого дифференциальным уравнениям, а именно — краевым задачам или задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.