Решить производную функции

Этот вопрос относится к предмету математика, а точнее к разделу математический анализ, который включает изучение производных и их применения. Давайте решим задачу по шагам. Нам дана функция:

\[ y = \sin(\tan(\sqrt{x})) \]

Нам нужно найти её производную \( \frac{dy}{dx} \).

1. Рассмотрим вложенные функции:
   • Внутренняя функция: \( u = \sqrt{x} \)
   • Средняя функция: \( v = \tan(u) \)
   • Внешняя функция: \( y = \sin(v) \)
2. Производная внешней функции \( y = \sin(v) \):

   \[ \frac{dy}{dv} = \cos(v) \]

3. Производная средней функции \( v = \tan(u) \):

   \[ \frac{dv}{du} = \sec^2(u) = \sec^2(\sqrt{x}) \]

4. Производная внутренней функции \( u = \sqrt{x} \):

   \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

5. Используем правило цепочки для нахождения общей производной:

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

6. Подставляем все производные:

   \[ \frac{dy}{dx} = \cos(\tan(\sqrt{x})) \cdot \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

7. Приводим к окончательному виду:

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(\tan(\sqrt{x})) \cdot \sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]

Таким образом, производная функции \( y = \sin(\tan(\sqrt{x})) \) равна:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(\tan(\sqrt{x})) \cdot \sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]

Надеюсь, это объяснение было полезным и информативным!