Решить при использовании бесконечно малых

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (пределы и использование бесконечно малых)

Нам нужно найти предел следующего выражения при (x \to 0):

 \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 3x - 1}{\sin^2(5x)}. 

Решение:

1. Разложим числитель (e^{3x} - 3x - 1) в ряд Тейлора по степеням (x):

   Формула разложения экспоненты: e^{3x} = 1 + 3x + \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^3}{3!} + \dots

   Тогда: e^{3x} - 3x - 1 = \left(1 + 3x + \frac{(3x)^2}{2} + \frac{(3x)^3}{6} + \dots \right) - 3x - 1.

   После упрощения: e^{3x} - 3x - 1 = \frac{(3x)^2}{2} + \frac{(3x)^3}{6} + \dots.

   Оставим только главную бесконечно малую второго порядка: e^{3x} - 3x - 1 \approx \frac{9x^2}{2}.

2. Разложим знаменатель (\sin^2(5x)):

   Формула разложения синуса: \sin(5x) = 5x - \frac{(5x)^3}{6} + \dots.

   Тогда: \sin^2(5x) = \left(5x - \frac{(5x)^3}{6} + \dots \right)^2.

   Оставим главную бесконечно малую второго порядка: \sin^2(5x) \approx (5x)^2 = 25x^2.

3. Подставим приближенные выражения в предел:

    \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 3x - 1}{\sin^2(5x)} \approx \lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{2}}{25x^2}. 

   Сократим (x^2) в числителе и знаменателе:  \lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{2}}{25} = \frac{9}{50}. 

Ответ:

 \frac{9}{50}.