Решить предел без применения Лопиталя и Тейлора

Задание: Взять предел: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2)^2}{x(x + 1 + x^2)} \]

Предмет: математический анализ

Раздел: пределы функций

Решение:

Часто при решении пределов вида \(\lim_{x \to \infty}\) важно отследить самые значимые слагаемые, которые определяют асимптотику поведения функции при больших \(x\). Здесь подобные процедуры называются "приведением к доминирующим членам". Рассмотрим решение по этой методике. Рассмотрим числитель и знаменатель произвольно.

Шаг 1. Упрощение числителя

Числитель равен: \[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]

Шаг 2. Упрощение знаменателя

Перепишем знаменатель подробно: \[ x(x + 1 + x^2) = x \cdot (x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x \]

Итак, функцию можно переписать как: \[ f(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^3 + x^2 + x} \]

Шаг 3. Доминирующие слагаемые

При \(x \to \infty\) наибольшие члены и в числителе, и в знаменателе (т.е. **доминирующие слагаемые**) — это \(x^2\) в числителе и \(x^3\) в знаменателе. Все остальные члены можно игнорировать при стремлении \(x\) к бесконечности, поскольку они дают меньший вклад. Таким образом, для больших \(x\):

\[ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^3 + x^2 + x} \sim \frac{x^2}{x^3} \]

Шаг 4. Упрощение предела

Теперь существенно упрощаем дробь: \[ \frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x} \]

Шаг 5. Итог

Так как \(\frac{1}{x} \to 0\) при \(x \to \infty\), можем записать: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3} = 0 \]

Ответ: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2)^2}{x(x + 1 + x^2)} = 0 \]

Таким образом, предел функции равен: \[ \boxed{0} \]