Решить предел

Данное задание относится к предмету математике, а именно к разделу математического анализа, который изучает пределы, интегралы и особенности функций.

Необходимо решить предел следующего интеграла: \[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{t^{4/3}} \, dt \]

1. Анализ интеграла: Мы видим, что подынтегральная функция \(\frac{1}{t^{4/3}}\) имеет сингулярность (бесконечное значение) в точке \( t = 0 \). Поэтому необходимо внимательно проанализировать поведение интеграла вблизи этой точки.
2. Разбиение интеграла: Нужно переписать интеграл, чтобы было удобно оценить его на участке от -1 до -ε: \[ \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{t^{4/3}} \, dt \]
3. Нахождение первообразной функции: Рассчитываем первообразную функции \(\frac{1}{t^{4/3}}\). Для этого мы используем стандартные правила интегрирования: \[ \int t^{-4/3} \, dt \] Преобразуем степень: \[ = \int t^{-4/3} \, dt \] Известно, что \(\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \) для \( n \neq -1 \). В данном случае \( n = -\frac{4}{3} \): \[ \int t^{-4/3} \, dt = \frac{t^{-1/3}}{-1/3} = -3 t^{-1/3} \]
4. Интегрирование на указанном интервале: Подставляем пределы интегрирования: \[ \left[-3 t^{-1/3}\right]_{t=-1}^{t=-\epsilon} = -3(-\epsilon)^{-1/3} - \left[ -3(-1)^{-1/3} \right] \] Поскольку \((-1)^{-1/3}\) это тот же самый \(-1\), тогда \[( -3(-\epsilon)^{-1/3} - (-3(-1)^{-1/3}) = -3(-\epsilon)^{-1/3} + 3 \]
5. Предел при \(\epsilon \to 0^+\): \[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \left( -3(-\epsilon)^{-1/3} + 3 \right) \] Заметим, что \((- \epsilon )^{-1/3} = \frac{1}{(- \epsilon)^{1/3}} \), \((- \epsilon)^{1/3} = - (\epsilon)^{1/3}\): \[ = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left( -3 \frac{1}{-(\epsilon)^{1/3}} + 3 \right) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left( 3 \frac{1}{(\epsilon)^{1/3}} + 3 \right) \] Обратим внимание, что \(\frac{1}{(\epsilon)^{1/3}}\) стремится к бесконечности при \(\epsilon \to 0^+\). Следовательно, выражение стремится к бесконечности: \[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \left( 3 \frac{1}{(\epsilon)^{1/3}} + 3 \right) = \infty. \] Таким образом, данный предел не существует, так как интеграл стремится к бесконечности: \[ \boxed{\infty} \]