Решить правилом Лопеталя

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Пределы, правило Лопиталя)

Дано выражение:
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\cos x)}{\ln(\sin x)}

Шаг 1: Проверка неопределенности

Подставим x = \frac{\pi}{2}:

• \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, значит \ln(\cos x) \to \ln 0 \to -\infty
• \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, значит \ln(\sin x) \to \ln 1 = 0

Так как у нас неопределенность вида \frac{-\infty}{0}, попробуем применить правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя гласит, что если предел принимает неопределенность вида \frac{0}{0} или \frac{\pm\infty}{\pm\infty}, то:

\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Найдем производные числителя и знаменателя:

1. Числитель:
   \frac{d}{dx} \ln(\cos x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x

2. Знаменатель:
   \frac{d}{dx} \ln(\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x

Таким образом, предел преобразуется в:

\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\tan x}{\cot x}

Шаг 3: Вычисление предела

Подставим x = \frac{\pi}{2}:

• \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) \to \infty
• \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) \to 0

Таким образом, выражение стремится к \frac{-\infty}{0} \to -\infty.

Ответ:

\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\cos x)}{\ln(\sin x)} = -\infty