Решить неравенство

Конечно, давайте разберем и решим данное неравенство. Сначала определим предмет и раздел предмета.

Предмет: Математика Раздел: Алгебра, раздел неравенств, работа с модулями.

Шаг 1: Раскрытие модулей

Дано неравенство: \[ |x| \geq |x - 2| \]

Рассмотрим различные случаи для \( |x| \) и \( |x - 2| \).

Шаг 2: Рассмотрим случаи для \( x \)

1. Случай 1: \( x \geq 0 \) - В этом случае \( |x| = x \).

- Для \( |x - 2| \) у нас будут две подслучаи: \( x - 2 \geq 0 \) и \( x - 2 < 0 \).

Подслучай 1.1: \( x \geq 2 \)

• \( |x - 2| = x - 2 \)
• Неравенство упрощается до: \( x \geq x - 2 \)
• Это выражение всегда верно для любых \( x \geq 2 \).

Подслучай 1.2: \( 0 \leq x < 2 \)

• \( |x - 2| = 2 - x \)
• Неравенство упрощается до: \( x \geq 2 - x \)
• Решим это неравенство: \( 2x \geq 2 \), \( x \geq 1 \)

Объединяя подслучаи для случая 1, получаем: \( x \geq 1 \).

2. Случай 2: \( x < 0 \) - В этом случае \( |x| = -x \).

- Для \( |x - 2| \) также рассмотрим два подслучая: \( x - 2 \geq 0 \) и \( x - 2 < 0 \).

Подслучай 2.1: \( x < 2 \)

• \( |x - 2| = 2 - x \)
• Неравенство упрощается до: \( -x \geq 2 - x \)
• Это выражение никогда не верно, так как \( -x \) меньше \( 2 - x \) для всех \( x < 2 \).

\[ -x \geq 2 - x \]

\[ -x + x \geq 2 - x + x \]

\[ 0 \geq 2 \] - Это неверно.

Подслучай 2.2: Этот случай невозможен, так как \( x < 2 \).

Итоговое решение

\[ x \geq 1 \]

Таким образом, решение данного неравенства: \[ x \geq 1 \]