Решить неопределенные интегралы

Данный вопрос относится к предмету - математический анализ, а именно к интегрированию и разделу, связанному с вычислением неопределённых интегралов.

Теперь приступим к подробному решению каждого интеграла.

д) \(\int \frac{x^3 - 1}{x - 1} dx\)

1. Для начала попробуем упростить выражение в интеграле. Разделим числитель на знаменатель. Это деление можно осуществить полиномиально, с помощью деления \((x^3 - 1)\) на \((x - 1)\).

\[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \]

Следовательно:

\[ \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1 \]

Теперь наш интеграл выглядит следующим образом:

\[ \int (x^2 + x + 1) dx \]

2. Интегрируем каждый член по отдельности:

\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1 dx = x \]

3. Получаем окончательное выражение:

\[ \int \frac{x^3 - 1}{x - 1} dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C \]

е) \(\int \frac{1}{x^2(x^2 + 5)} dx\)

1. Попробуем решить этот интеграл с помощью разложения дроби на простые слагаемые. Представим функцию в виде суммы двух дробей:

\[ \frac{1}{x^2(x^2 + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 5} \]

Уравняв числители, найдем коэффициенты \( A \), \( B \), \( C \), \( D \). После, проинтегрируем каждую из полученных дробей.

Однако для начала можем сократить подстановкой вида:

\[ u = x^2 + 5, \quad du = 2x dx \]

Тогда попробуем преобразовать:

\[ \int \frac{1}{x^2(x^2 + 5)} dx \]

ж) \(\int \frac{4x - 9x}{2x + 3x^2} dx\)

Уточните текст с markdown-разметкой для его преобразования.