Решить неопределенные интегралы

Данный вопрос относится к предмету - математический анализ, а именно к интегрированию и разделу, связанному с вычислением неопределённых интегралов.

Теперь приступим к подробному решению каждого интеграла.

д) $\text{(}\int \frac{x^3-1}{x-1}dx\text{)}$

1. Для начала попробуем упростить выражение в интеграле. Разделим числитель на знаменатель. Это деление можно осуществить полиномиально, с помощью деления $\text{(}(x^3-1)\text{)}$ на $\text{(}(x-1)\text{)}$.

$\text{[}{x}^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\text{]}$

Следовательно:

$\text{[}\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1\text{]}$

Теперь наш интеграл выглядит следующим образом:

$\text{[}\int (x^2+x+1)dx\text{]}$

2. Интегрируем каждый член по отдельности:

$\text{[}\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3},\int xdx=\frac{x^2}{2},\int 1dx=x\text{]}$

3. Получаем окончательное выражение:

$\text{[}\int \frac{x^3-1}{x-1}dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+C\text{]}$

е) $\text{(}\int \frac{1}{x^2(x^2+5)}dx\text{)}$

1. Попробуем решить этот интеграл с помощью разложения дроби на простые слагаемые. Представим функцию в виде суммы двух дробей:

$\text{[}\frac{1}{x^2(x^2+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+5}\text{]}$

Уравняв числители, найдем коэффициенты $\text{(}A\text{)}$, $\text{(}B\text{)}$, $\text{(}C\text{)}$, $\text{(}D\text{)}$. После, проинтегрируем каждую из полученных дробей.

Однако для начала можем сократить подстановкой вида:

$\text{[}u=x^2+5,du=2xdx\text{]}$

Тогда попробуем преобразовать:

$\text{[}\int \frac{1}{x^2(x^2+5)}dx\text{]}$

ж) $\text{(}\int \frac{4x-9x}{2x+3x^2}dx\text{)}$

Уточните текст с markdown-разметкой для его преобразования.