Решить квадратичное уровнение

Условие:

Решение:

На изображении представлено уравнение: \[(x^2 - 4x + 1) \cdot (x^2 - 4x + 4) = 4.\] Чтобы решить его, сначала раскроем скобки. Обратим внимание, что \(x^2 - 4x + 4\) является полным квадратом и равно \((x-2)^2\). Также заметим, что \(x^2 - 4x + 1\) очень близко к полному квадрату и отличается всего на 3 (\(x^2 - 4x + 4\) было бы \((x-2)^2\)). Раскроем скобки следующим образом: \[(x^2 - 4x + 1) \cdot ((x - 2)^2).\] Раскрыв скобки, получим: \[x^2 \cdot (x - 2)^2 - 4x \cdot (x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 4.\] Теперь подставим \(y = x - 2\), тогда \(x = y + 2\) и перепишем уравнение через \(y\): \[((y + 2)^2 - 4(y + 2) + 1) \cdot y^2 = 4.\] Раскроем скобки в первом множителе: \[(y^2 + 4y + 4 - 4y - 8 + 1) \cdot y^2 = 4.\] Упростим выражение: \[(y^2 - 4 + 1) \cdot y^2 = 4.\] Теперь прибавим (-4 +1): \[y^2 \cdot y^2 - 3 \cdot y^2 - 4 = 0.\] Это уравнение можно переписать как: \[y^4 - 3y^2 - 4 = 0.\] Теперь заменим \(y^2\) на \(z\), получим квадратное уравнение: \[z^2 - 3z - 4 = 0.\] Решим его через дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\] \[z_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}.\] \[z_1 = 4, \; z_2 = -1.\] Но так как \(z = y^2\), \(z\) не может быть отрицательным, значит \(z = 4\), откуда \(y^2 = 4\) и \(y = \pm 2\). Вспомним, что \(y = x - 2\): \[x - 2 = \pm 2.\] Таким образом, \(x\) может быть либо \(4\) (если \(x - 2 = 2\)), либо \(0\) (если \(x - 2 = -2\)). Следовательно, верные ответы - \(0\) и \(4\).