Решить и объяснить решение

Предмет: Математический анализ

Раздел: Несобственные интегралы

Дан несобственный интеграл:

 I = \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{dx}{x \ln^4 x} 

Шаг 1: Анализ особенностей интеграла

Подынтегральная функция
 f(x) = \frac{1}{x \ln^4 x} 
имеет особенность при x = 0, так как \ln x стремится к -\infty при x \to 0^+. Нужно исследовать сходимость интеграла в окрестности нуля.

Шаг 2: Замена переменной

Введем замену:
 t = \ln x, \quad \text{тогда} \quad dt = \frac{dx}{x} 

При x = 0 имеем t \to -\infty, а при x = \frac{1}{e} имеем t = -1.

Перепишем интеграл в новых переменных:

 I = \int_{-\infty}^{-1} \frac{dt}{t^4} 

Шаг 3: Исследование сходимости

Рассмотрим поведение интеграла при t \to -\infty.

Интеграл имеет вид:

 I = \int_{-\infty}^{-1} t^{-4} dt 

Вычислим первообразную:

 \int t^{-4} dt = \frac{t^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3t^3} 

Подставляем пределы:

 I = \left[ -\frac{1}{3t^3} \right]_{-\infty}^{-1} 

При t = -1 получаем:

 -\frac{1}{3(-1)^3} = \frac{1}{3} 

При t \to -\infty имеем:

 -\frac{1}{3(-\infty)^3} \to 0 

Таким образом,

 I = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} 

Вывод

Несобственный интеграл сходится и его значение равно \frac{1}{3}.