Решить элементарную вариационную задачу

Предмет: Математика
Раздел: Вариационное исчисление (элементарные вариационные задачи)

Дана вариационная задача:
 I[y] = \int_1^e \left( x y'^2 + y y' \right) dx \to \text{extremum} 
с граничными условиями
 y(1) = 0, \quad y(e) = 1 .

Шаг 1. Запишем функцию под интегралом

 F = x y'^2 + y y' 

где  y' = \frac{dy}{dx} .

Шаг 2. Запишем уравнение Эйлера — Лагранжа

Общее уравнение:
 \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0 

Вычислим частные производные:
 \frac{\partial F}{\partial y} = y' 
 \frac{\partial F}{\partial y'} = 2 x y' + y 

Шаг 3. Подставим в уравнение Эйлера — Лагранжа

 y' - \frac{d}{dx} (2 x y' + y) = 0 

Вычислим производную:
 \frac{d}{dx} (2 x y' + y) = 2 y' + 2 x y'' + y' = 3 y' + 2 x y'' 

Тогда:
 y' - (3 y' + 2 x y'') = 0 \implies y' - 3 y' - 2 x y'' = 0 \implies -2 y' - 2 x y'' = 0 

Разделим на -2:
 y' + x y'' = 0 

Шаг 4. Решим дифференциальное уравнение

 y' + x y'' = 0 

Обозначим:
 p = y', \quad p' = y'' 

Тогда уравнение:
 p + x p' = 0 

Перепишем:
 x p' = -p 
 p' = -\frac{p}{x} 

Это уравнение первого порядка для  p(x) . Решим его методом разделения переменных:
 \frac{dp}{dx} = -\frac{p}{x} 
 \frac{dp}{p} = -\frac{dx}{x} 

Интегрируем:
 \int \frac{dp}{p} = - \int \frac{dx}{x} \implies \ln |p| = -\ln |x| + C_1 \implies \ln |p| = \ln \frac{C}{x} 

где  C = e^{C_1} > 0 . Тогда:
 p = y' = \frac{C}{x} 

Шаг 5. Найдем  y(x) 

Интегрируем:
 y = \int y' dx = \int \frac{C}{x} dx = C \ln x + D 

Шаг 6. Используем граничные условия

 y(1) = 0 \implies C \ln 1 + D = 0 \implies D = 0 
 y(e) = 1 \implies C \ln e + 0 = 1 \implies C \cdot 1 = 1 \implies C = 1 

Ответ:

 y(x) = \ln x 

Итог:

Функция  y(x) = \ln x  экстремизирует функционал
 I[y] = \int_1^e \left( x y'^2 + y y' \right) dx 
при заданных граничных условиях.