Решить дифференциальное уравнение 1 порядка

Данное задание относится к области дифференциальных уравнений, являясь частью курса высшей математики.

У нас есть дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида: \[ (x - x^3)y' + (-x^2 - 1)y - 3x^3 = 0 \]

Для решения этого уравнения применим метод приведения к каноническому виду и метод вариации постоянных.

1. Запишем уравнение в каноническом виде:

Для начала запишем уравнение в следующем виде: \[ y' + P(x)y = Q(x) \]

Разделим обе части оригинального уравнения на \((x - x^3)\): \[ y' + \frac{-x^2 - 1}{x - x^3}y = \frac{3x^3}{x - x^3} \]

Теперь упростим дроби: \[ P(x) = \frac{-x^2 - 1}{x(1 - x^2)} = \frac{-1}{x(1 - x^2)} - \frac{x}{1 - x^2} \] А также: \[ Q(x) = \frac{3x^3}{x(1 - x^2)} = \frac{3x^2}{1 - x^2} \]

Итак, уравнение теперь выглядит следующим образом: \[ y' + \left(\frac{-1}{x(1 - x^2)} - \frac{x}{1 - x^2}\right)y = \frac{3x^2}{1 - x^2} \]

2. Решение уравнения методом вариации постоянных:

Для начала нам нужно найти решение однородного уравнения: \[ y' + P(x)y = 0 \] \[ y' + \left(\frac{-1}{x(1 - x^2)} - \frac{x}{1 - x^2}\right)y = 0 \]

Решаем данное уравнение, используя метод интегрирующего множителя: \[ \mu(x) = e^{\int P(x)dx} \]

Где \[ P(x) = \frac{-1}{x(1 - x^2)} - \frac{x}{1 - x^2} \] Вместо того, чтобы интегрировать это напрямую, введем переменную z, z = y/x. Получаем: \[ \frac{dz}{dx}x + z' = \frac{3x^2}{(x-x^3)} \]

Решив дифференциальное уравнение: \[ z = - \frac{x^2}{1-x^2} ~ \int x^{-2} dx + C \]

Подставим z = y/x получаем: \[ y = x- x^3 \ln (|x^2|) \]

Итак, частное решение этого дифференциального уравнения: \[\boxed{y = x - x^3 \ln (|x^2|)}\]