Решить через правило лопиталя

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы, Правило Лопиталя)

Дана задача найти предел выражения:

\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\sqrt{\sin(\pi x)}}.

Решение:

Шаг 1. Исследуем выражение на неопределенность

Подставим (x = 0) в числитель и знаменатель:

• Числитель: (e^{3x} - 1 \to e^0 - 1 = 0.)
• Знаменатель: (\sqrt{\sin(\pi x)} \to \sqrt{\sin(0)} = \sqrt{0} = 0.)

Таким образом, имеем неопределенность вида (\frac{0}{0}), и можно применить правило Лопиталя.

Шаг 2. Применяем правило Лопиталя

Для применения правила Лопиталя вычислим производные числителя и знаменателя.

• Производная числителя: [ \frac{d}{dx}(e^{3x} - 1) = 3e^{3x}. ]

• Производная знаменателя: [ \frac{d}{dx}(\sqrt{\sin(\pi x)}) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\pi x)}} \cdot \cos(\pi x) \cdot \pi. ]

Подставляем производные в предел:

[ \lim{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\sqrt{\sin(\pi x)}} = \lim{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{\frac{\pi \cos(\pi x)}{2\sqrt{\sin(\pi x)}}}. ]

Упростим дробь:

[ \lim{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{\frac{\pi \cos(\pi x)}{2\sqrt{\sin(\pi x)}}} = \lim{x \to 0} \frac{6e^{3x} \sqrt{\sin(\pi x)}}{\pi \cos(\pi x)}. ]

Шаг 3. Упростим выражение и найдем предел

Подставим (x = 0) в упрощенное выражение:

• Числитель: (6e^{3x} \sqrt{\sin(\pi x)} \to 6 \cdot e^0 \cdot \sqrt{\sin(0)} = 6 \cdot 1 \cdot 0 = 0.)
• Знаменатель: (\pi \cos(\pi x) \to \pi \cdot \cos(0) = \pi \cdot 1 = \pi.)

Таким образом, предел равен:

[ \lim_{x \to 0} \frac{6e^{3x} \sqrt{\sin(\pi x)}}{\pi \cos(\pi x)} = 0. ]

Ответ:

\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\sqrt{\sin(\pi x)}} = 0.