Решить без правила Лопиталя

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ — Пределы, экспоненциальные и логарифмические функции

Задание: Необходимо найти предел при \(x \to 0\) от выражения \(\left( 1 + 3x \right)^{\frac{5}{2x}}\) без применения правила Лопиталя.

Решение:

1. Итак, дано выражение: \[\lim_{x \to 0} \left( 1 + 3x \right)^{\frac{5}{2x}} \]
2. Применим один из стандартных подходов для подобных пределов с такими степенями — это переход через логарифм.
3. Возьмём натуральный логарифм от данного выражения: \[ y = \lim_{x \to 0} \left( 1 + 3x \right)^{\frac{5}{2x}} \] Тогда возьмём логарифм: \[ \ln(y) = \lim_{x \to 0} \frac{5}{2x} \ln (1 + 3x) \]
4. Теперь вспоминаем важное свойство у логарифма для малых \(x\): \[ \ln(1 + u) \approx u, \text{ при } u \to 0. \] Здесь \(u = 3x\), а \( x \to 0 \), значит, можем переписать: \[ \ln(1 + 3x) \approx 3x \]
5. Подставляем это приближение в предел: \[ \ln(y) = \lim_{x \to 0} \frac{5}{2x} \cdot 3x \] Сокращаем \(x\) в числителе и знаменателе: \[ \ln(y) = \lim_{x \to 0} \frac{15x}{2x} = \frac{15}{2} \]
6. Получается, что: \[ \ln(y) = \frac{15}{2} \] Следовательно: \[ y = e^{\frac{15}{2}} \]
7. Значит, найти предел от исходного выражения означает вычислить: \[\lim_{x \to 0} \left( 1 + 3x \right)^{\frac{5}{2x}} = e^{\frac{15}{2}}.\]

Ответ: \(\boxed{e^{\frac{15}{2}}}\).