Решение уравнения используя метод разделения переменных или характеристический метод

Этот пример относится к предмету "Дифференциальные уравнения", а конкретно к теме "Частные производные и уравнения в частных производных".

Рассмотрим дифференциальное уравнение, которое дано на изображении: \[ \frac{\partial u}{\partial x} + \left( \frac{x}{\cos x} + y \tan x \right) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] Для решения этого уравнения используем метод разделения переменных или характеристический метод. В данном контексте наиболее подходящим может быть метод характеристик.

Шаг 1. Постановка характеристического уравнения

Для уравнения вида: \[ \frac{\partial u}{\partial x} + P(x,y) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] характеристические уравнения имеют вид: \[ \frac{dx}{1} = \frac{dy}{P(x,y)} = \frac{du}{0} \]

Шаг 2. Применение характеристического метода

В нашем случае: \[ P(x,y) = \frac{x}{\cos x} + y \tan x \] Составим характеристические уравнения: \[ \frac{dx}{1} = \frac{dy}{\frac{x}{\cos x} + y \tan x} = \frac{du}{0} \] Из \(\frac{du}{0}\) видно, что \(u\) остаётся постоянным вдоль характеристик, то есть \(u = \text{const}\).

Теперь решим оставшуюся систему: \[ \frac{dx}{1} = \frac{dy}{\frac{x}{\cos x} + y \tan x} \] Это эквивалентно: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x / \cos x + y \tan x}{1} = \frac{x}{\cos x} + y \tan x \]

Шаг 3. Решение дифференциального уравнения

Получим интегральные кривые для \(y\): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{\cos x} + y \tan x \] Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения применим метод дифференциальных уравнений:

Рассмотрим подстановку \(v = y \cos x\), тогда \(y = v / \cos x\). Преобразуем уравнение: \[ \frac{d}{dx} \left( v / \cos x \right) = \frac{x}{\cos x} + \frac{v}{\cos x} \tan x \] Таким образом, уравнение упрощается до: \[ \frac{dv}{dx} \cdot \frac{1}{\cos x} - v \sin x = x \cos x + v \cos x \] \[ \frac{dv}{dx} = x \cos^2 x \] Интегрируем обе части: \begin{align*} \int dv = \int x \cos^2 x \, dx \end{align*} Интегрируем правую часть, используя метод подстановки или частичные интегралы.

Шаг 4. Получение решения

Решаем интеграл и подставляем обратно для нахождения \(u\). Это уравнение имеет частное решение вида \(u = f(C)\), где \(C\) зависит от интегральных кривых. Так как интегрирование может занять много места, конечное решение может иметь вид: \[ u = f(y \cos x - x^2/2) \] Где \(f\) - произвольная функция, которую можно выбрать на основе начальных условий или дополнительных условий задачи. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид: \[ u(x, y) = f(y \cos x - x^2/2) \]