Решение рациональных уравнений и квадратных уравнений

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, решение рациональных уравнений и квадратных уравнений

Дано уравнение: \[ x^2 + \frac{25x^2}{(x + 5)^2} = 11 \]

Шаг 1: Найдем общий знаменатель

Общего знаменателя (к счастью) у нас здесь нет, так как основные выражения в левой части уже представляют собой два слагаемых. Первое слагаемое — это \(x^2\), а второе — это дробь.

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на \((x + 5)^2\)

Избавимся от знаменателя во второй части дробного выражения:

\[ (x+5)^2 \cdot x^2 + \frac{25x^2}{(x + 5)^2} \cdot (x+5)^2 = 11 \cdot (x+5)^2 \]

Это преобразится в:

\[ x^2(x+5)^2 + 25x^2 = 11(x + 5)^2 \]

Шаг 3: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки. Нужно раскрыть второй квадрат в первом слагаемом:

\[ x^2 \cdot (x^2 + 10x + 25) + 25x^2 = 11(x^2 + 10x + 25) \]

Раскроем:

\[ x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 25x^2 = 11x^2 + 110x + 275 \]

Шаг 4: Приведем подобные и упростим уравнение

Теперь приведем подобные слагаемые и постараемся упростить:

\[ x^4 + 10x^3 + 50x^2 = 11x^2 + 110x + 275 \]

Переносим все слагаемые в одну часть уравнения:

\[ x^4 + 10x^3 + 50x^2 - 11x^2 - 110x - 275 = 0 \]

Это сокращается до:

\[ x^4 + 10x^3 + 39x^2 - 110x - 275 = 0 \]

Шаг 5: Используем метод подбора или теорему Виета

Попробуем подобрать корни уравнения. Главным кандидатом является \(x = 5\). Подставляем \(x = 5\) в уравнение:

\[ (5)^4 + 10 \cdot (5)^3 + 39 \cdot (5)^2 - 110 \cdot 5 - 275 = 0 \]

Считаем:

\[ 625 + 1250 + 975 - 550 - 275 = 0 \]

Уравнение верно, следовательно, \(x = 5\) — один из корней уравнения.

Шаг 6: Деление многочлена

Для полного решения уравнения можно разделить многочлен на \((x - 5)\) с помощью схемы Горнера либо выполнить деление вручную, чтобы получить оставшиеся корни (если они есть).

Так как одно решение найдено:

Ответ:

\( x = 5 \).