Предмет: Математика (раздел: Алгебра и Анализ) Мы имеем функцию вида: \[ y = \frac{x^3 + 8}{x^2 - 1} \] Это выражение является рациональной функцией. Мы разберём её и проанализируем шаг за шагом.
Шаг 1: Найдём область определения
Рациональная функция не определена, когда знаменатель равен нулю. Знаменатель — это \( x^2 - 1 \). Найдём, при каких значениях \(x \), знаменатель обращается в 0: \[
x^2 - 1 = 0 \] \[x^2 = 1 \] \[x = \pm 1 \]
Таким образом, область определения функции — все значения \( x \), кроме \( x = 1 \) и \( x = -1 \). \[ D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) \]
Шаг 2: Упростим выражение (если возможно)
Попробуем разложить числитель и знаменатель на множители.
- В числителе у нас выражение \(x^3 + 8\). Это сумма кубов, которая раскладывается по формуле: \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] Здесь \(a = x \), а \(b = 2 \). Применим формулу: \[
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \]
- Знаменатель \(x^2 - 1\) — это разность квадратов: \[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Теперь подставим разложения в исходное выражение: \[
y = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x - 1)(x + 1)} \]
Шаг 3: Исследуем поведение функции
- Проблемы с существованием функции: Мы видим, что при \(x = \pm 1\), знаменатель обращается в 0, что недопустимо. Следовательно, в этих точках функция не определена.
- Анализ пределов в этих точках: Рассмотрим, как могут вести себя пределы функции около проблемных точек \(x = 1\) и \(x = -1\).
- Для \(x \to 1\):
- Приближаясь к \(x = 1\) с положительной и отрицательной стороны, знаменатель стремится к 0, что приводит к стремлению функции к бесконечности (положительная или отрицательная, в зависимости от направления).
- Для \(x \to -1\):
- Аналогичным образом, функция будет приближаться к бесконечности в точке \(x = -1\).
- Асимптоты:
- Вертикальные асимптоты: Функция стремится к ±бесконечности при \(x = 1\) и \(x = -1\), значит, есть вертикальные асимптоты в этих точках.
- Горизонтальные асимптоты: Мы можем выяснить поведение функции при больших значениях \(x \), если исследуем предел \(y \) при \(x \to \infty \): \[\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3 + 8}{x^2 - 1} \approx \frac{x^3}{x^2} = x \] Значит, при больших значениях \(x \), функция не стремится к постоянной величине, и горизонтальных асимптот нет (но есть наклонная асимптота, поскольку \(y \approx x\) при \(x \to \infty \)).
Вывод:
- Область определения функции: \(D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)\).
- Вертикальные асимптоты в \(x = 1\) и \(x = -1\).
- Наклонная асимптота: \(y \approx x\) при больших значениях \(x\).
Функция - рациональная, и её анализ включает разложение на множители, исследование области определения и поведения на бесконечности.