Решение пределов функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Пределы функций)

Рассмотрим каждый из пределов по отдельности.

1. Найти \lim_{x \to \infty} \frac{2x^4 + x}{3x^2 + 2}

Для нахождения предела при x \to \infty, доминирующими являются старшие степени числителя и знаменателя. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на старшую степень x^2:

 \frac{2x^4 + x}{3x^2 + 2} = \frac{x^2(2x^2 + \frac{1}{x^2})}{x^2(3 + \frac{2}{x^2})} = \frac{2x^2 + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{2}{x^2}}. 

При x \to \infty малые члены \frac{1}{x^2} стремятся к нулю:

 \lim_{x \to \infty} \frac{2x^4 + x}{3x^2 + 2} = \frac{2x^2}{3} = \infty. 

2. Найти \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\tan(7x)}

Для малых x (x \to 0) справедливы приближения \sin(x) \approx x и \tan(x) \approx x. Тогда:

 \frac{\sin(5x)}{\tan(7x)} \approx \frac{5x}{7x} = \frac{5}{7}. 

Таким образом:

 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\tan(7x)} = \frac{5}{7}. 

3. Найти \lim_{x \to 4} \frac{3x^2 - 2x - 40}{x^2 - 3x - 4}

Подставим x = 4 в числитель и знаменатель:

• Числитель: 3(4)^2 - 2(4) - 40 = 3 \cdot 16 - 8 - 40 = 48 - 48 = 0.
• Знаменатель: (4)^2 - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0.

Получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Применим разложение на множители.

Разложение числителя:

3x^2 - 2x - 40 = (3x + 10)(x - 4).

Разложение знаменателя:

x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1).

Подставим разложения в исходный предел:

 \frac{3x^2 - 2x - 40}{x^2 - 3x - 4} = \frac{(3x + 10)(x - 4)}{(x - 4)(x + 1)}. 

Сократим общий множитель (x - 4):

 \lim_{x \to 4} \frac{3x^2 - 2x - 40}{x^2 - 3x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{3x + 10}{x + 1}. 

Теперь подставим x = 4:

 \frac{3(4) + 10}{4 + 1} = \frac{12 + 10}{5} = \frac{22}{5}. 

Ответы:

1. \infty
2. \frac{5}{7}
3. \frac{22}{5}