Решение на основе применения правила Лопиталя

Давайте разберем это задание. Мы имеем функцию \( y = \frac{x^2 - 6}{x - 2} \).

Задание связано с математическим анализом в разделе, который изучает поведение функций, их производные, а также их разложение на компоненты.

Шаг 1: Определение области определения функции

Функция \( y = \frac{x^2 - 6}{x - 2} \) будет определяема везде, где знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен нулю при \( x - 2 = 0 \), то есть при \( x = 2 \). Следовательно, область определения функции — все вещественные числа, кроме \( x = 2 \).

Шаг 2: Упрощение

Для упрощения рассмотрим числитель и знаменатель. Мы попытаемся разложить числитель, чтобы найти, можно ли его упростить с учетом знаменателя. Числитель: \( x^2 - 6 \) не разлагается на множители, которые содержат линейный множитель \( (x-2) \). Так что у нас нет возможности упростить выражение напрямую. В этом случае вместо упрощения мы можем исследовать предел функции в точке, где знаменатель обращается в ноль.

Шаг 3: Предел функции при \( x \to 2 \)

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки \( x = 2 \):

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6}{x - 2} \]

Шаг 4: Применение правила Лопиталя

Чтобы найти этот предел, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое применяется в случае неопределенности вида \( \frac{0}{0} \):

\[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Здесь \( f(x) = x^2 - 6 \) и \( g(x) = x - 2 \).

Шаг 5: Поиск производных

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 6) = 2x \]

\[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x - 2) = 1 \]

Шаг 6: Вычисление предела с помощью производных

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{2x}{1} = \lim_{x \to 2} 2x = 2 \times 2 = 4 \]

Таким образом, предел функции при \( x \to 2 \) равен 4.

Ответ:

Область определения функции — все вещественные числа, кроме \( x = 2 \). Предел функции при \( x \to 2 \) равен \( 4 \), и это решение на основе применения правила Лопиталя.