Решение без замены переменной

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы (неопределённые интегралы)

Рассмотрим интеграл:

 I = \int \frac{\operatorname{ctg} (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} \,dx 

Решение без замены переменной

Используем представление котангенса через синус и косинус:

 \operatorname{ctg} y = \frac{\cos y}{\sin y} 

Тогда исходный интеграл принимает вид:

 I = \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sin (\sqrt{x} + 4)} \cdot \frac{dx}{\sqrt{x}} 

Теперь представим дифференциал подкоренного выражения:

 d(\sqrt{x}) = \frac{dx}{2\sqrt{x}} 

Перепишем интеграл:

 I = 2 \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sin (\sqrt{x} + 4)} \cdot d(\sqrt{x}) 

Это стандартный интеграл вида:

 \int \operatorname{ctg} u \, du = \ln |\sin u| 

Следовательно:

 I = 2 \ln |\sin (\sqrt{x} + 4)| + C 

Ответ:

 I = 2 \ln |\sin (\sqrt{x} + 4)| + C