Решаем неопределенный интеграл

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Интегралы)

Мы решаем неопределенный интеграл из пункта 4 о):
 \int \frac{3}{\sqrt{16x^2 + 16}} \,dx 

Подробное решение

Шаг 1: Вынесем множитель из-под корня

В знаменателе у нас стоит квадратный корень:
 \sqrt{16x^2 + 16} .

Заметим, что 16 можно вынести за скобку:
 16x^2 + 16 = 16(x^2 + 1) .

Теперь извлекаем корень:
 \sqrt{16(x^2 + 1)} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2 + 1} = 4\sqrt{x^2 + 1} .

Таким образом, наш интеграл принимает вид:
 \int \frac{3}{4\sqrt{x^2 + 1}} \,dx .

Так как 3 и 4 — это константы, их можно вынести за знак интеграла:
 \frac{3}{4} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} .

Шаг 2: Вспоминаем стандартный интеграл

Существует стандартный интеграл:
 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C .

В нашем случае  a^2 = 1 , то есть  a = 1 .
Значит:
 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \ln |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C .

Шаг 3: Подставляем результат

Теперь подставляем это в наш интеграл:
 \frac{3}{4} \ln |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C .

Ответ

 \frac{3}{4} \ln |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C .

Это и есть окончательный ответ.