Разложить в ряд тейлора exp^(-2x^2)

Определение предмета: Задания связаны с математикой, а конкретно с математическим анализом. Здесь необходимо разложить функцию \(e^{-2x^2}\) в ряд Тейлора. Также дано выражение в виде суммы, которая, по всей видимости, связана с разложением какой-либо функции в ряд.

Разложение функции \( e^{-2x^2} \) в ряд Тейлора:

Функция \( e^{x} \) разлагается в ряд Тейлора следующим образом:

\[ e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \]

Теперь рассмотрим функцию \( e^{-2x^2} \). Поскольку это экспонента от квадратичной функции, то мы происходим такое же разложение, заменяя \(x\) на \(-2x^2\):

\[ e^{-2x^2} = 1 + \frac{-2x^2}{1!} + \frac{(-2x^2)^2}{2!} + \frac{(-2x^2)^3}{3!} + \cdots \]

Теперь упростим:

\[ e^{-2x^2} = 1 - 2x^2 + \frac{(2x^2)^2}{2!} - \frac{(2x^2)^3}{3!} + \cdots \]

\[ e^{-2x^2} = 1 - 2x^2 + 2x^4 - \frac{4x^6}{3} + \cdots \]

\[ = 1 - 2x^2 + 2x^4 - \frac{4x^6}{3} + \cdots \]

Разложение функции завершено: \( e^{-2x^2} \approx 1 - 2x^2 + 2x^4 - \frac{4x^6}{3} + \cdots \).

Рассмотрим данное выражение суммы:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot (x + 1)^{n+1}}{n^2} \]

Здесь мы имеем бесконечную сумму (ряд) с членами вида \(\frac{2^n \cdot (x + 1)^{n+1}}{n^2}\). Этот ряд представляет собой степенной ряд, зависящий от \(x\). Хотя эта сумма не является разложением по Тейлору конкретной функции, она также является важной задачей в теории рядов.

Первые несколько членов ряда будут: