Разложить в ряд Лорана в окрестности точки

Предмет: Математический анализ

Раздел: Комплексный анализ, разложение в ряд Лорана

Рассмотрим функцию:
f(z) = z \cdot \sh \frac{\pi z}{z - \pi}

Необходимо разложить ее в ряд Лорана в окрестности точки z_0 = \pi.

Шаг 1: Преобразование функции

Перепишем аргумент гиперболического синуса:
\frac{\pi z}{z - \pi} = \frac{\pi (z - \pi + \pi)}{z - \pi} = \pi + \frac{\pi^2}{z - \pi}

Таким образом, функция принимает вид:
f(z) = z \cdot \sh \left(\pi + \frac{\pi^2}{z - \pi} \right)

Используем разложение гиперболического синуса:
\sh x = \sh a + (x - a) \ch a + \frac{(x - a)^2}{2!} \sh a + \dots

Подставим a = \pi и x = \pi + \frac{\pi^2}{z - \pi}:
\sh \left(\pi + \frac{\pi^2}{z - \pi} \right) = \sh \pi + \frac{\pi^2}{z - \pi} \ch \pi + \frac{1}{2} \left(\frac{\pi^2}{z - \pi}\right)^2 \sh \pi + \dots

Подставляем это в выражение для f(z):
f(z) = z \left(\sh \pi + \frac{\pi^2}{z - \pi} \ch \pi + \frac{1}{2} \frac{\pi^4}{(z - \pi)^2} \sh \pi + \dots \right)

Шаг 2: Представление в виде ряда Лорана

Разложим полученное выражение в ряд Лорана, выделяя главную часть (с отрицательными степенями (z - \pi)) и правильную часть (с ненулевыми степенями z - \pi).

Главная часть:
\frac{z \pi^2 \ch \pi}{z - \pi} + \frac{z \pi^4 \sh \pi}{2 (z - \pi)^2} + \dots

Правильная часть:
z \sh \pi

Таким образом, разложение в ряд Лорана имеет вид:
f(z) = \frac{z \pi^4 \sh \pi}{2 (z - \pi)^2} + \frac{z \pi^2 \ch \pi}{z - \pi} + z \sh \pi + \dots

Ответ:

• Главная часть ряда (с отрицательными степенями (z - \pi)):
  \frac{z \pi^4 \sh \pi}{2 (z - \pi)^2} + \frac{z \pi^2 \ch \pi}{z - \pi}
• Правильная часть ряда (с положительными степенями (z - \pi)):
  z \sh \pi + \dots