Разложить в ряд фурье y=x на интервале

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Ряды Фурье)

Постановка задачи:

Нужно разложить функцию ( y = x ) в ряд Фурье на интервале ([-2; 2]).

Теория:

Разложение функции ( y(x) ) в ряд Фурье на интервале ([-L; L]) имеет вид:

 y(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \right), 

где коэффициенты ( a_0 ), ( a_n ), ( b_n ) вычисляются по следующим формулам:

1. ( a_0 ) — нулевая гармоника:  a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} y(x) \, dx 

2. ( a_n ) — коэффициенты при косинусах:  a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} y(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx 

3. ( b_n ) — коэффициенты при синусах:  b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} y(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx 

В данном случае интервал ([-2; 2]) соответствует ( L = 2 ).

Решение:

1. Вычисление ( a_0 ):

Подставляем ( y(x) = x ) и ( L = 2 ):  a_0 = \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{-2}^{2} x \, dx = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} x \, dx. 

Рассчитаем интеграл:  \int_{-2}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0. 

Следовательно:  a_0 = 0. 

2. Вычисление ( a_n ):

Подставляем ( y(x) = x ), ( L = 2 ):  a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} x \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx. 

Этот интеграл является нечетной функцией (произведение ( x ) и ( \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) ) при симметрии относительно нуля), поэтому:  a_n = 0. 

3. Вычисление ( b_n ):

Подставляем ( y(x) = x ), ( L = 2 ):  b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} x \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx. 

Разобьем интеграл на два участка: от (-2) до (0) и от (0) до (2):  b_n = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^{0} x \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx + \int_{0}^{2} x \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx \right). 

Заметим, что ( \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) ) — нечетная функция, а ( x ) меняет знак на интервале ([-2; 0]) и ([0; 2]). Поэтому второй интеграл равен:  b_n = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{2} x \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx = \int_{0}^{2} x \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx. 

Используем метод интегрирования по частям:  \int x \sin(kx) \, dx = -\frac{x \cos(kx)}{k} + \frac{\sin(kx)}{k^2}. 

Здесь ( k = \frac{n \pi}{2} ). Подставляем:  \int_{0}^{2} x \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx = -\frac{x \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right)}{\frac{n \pi}{2}} \Big|_{0}^{2} + \frac{\sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right)}{\left(\frac{n \pi}{2}\right)^2} \Big|_{0}^{2}. 

Вычислим:

1. Для первого слагаемого:  -\frac{x \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right)}{\frac{n \pi}{2}} \Big|_{0}^{2} = -\frac{2 \cos\left(\frac{n \pi \cdot 2}{2}\right)}{\frac{n \pi}{2}} + 0 = -\frac{2 \cos(n \pi)}{\frac{n \pi}{2}} = -\frac{4 (-1)^n}{n \pi}. 

2. Для второго слагаемого:  \frac{\sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right)}{\left(\frac{n \pi}{2}\right)^2} \Big|_{0}^{2} = \frac{\sin\left(\frac{n \pi \cdot 2}{2}\right)}{\left(\frac{n \pi}{2}\right)^2} - \frac{\sin(0)}{\left(\frac{n \pi}{2}\right)^2} = 0. 

Итак:  b_n = -\frac{4 (-1)^n}{n \pi}. 

Ответ:

Ряд Фурье функции ( y = x ) на интервале ([-2; 2]) имеет вид:  y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{4 (-1)^n}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right).