Разложить функцию в ряд в окрестности точки

Задание: Определить предмет — Комплексный анализ. Раздел предмета — Разложение аналитических функций в ряды (ряд Лорана).

Дана функция: \[ f(z) = \frac{1}{(z^2 - 4)^2}, \] традиционное разложение делается в окрестности точки \( z_0 = -2 \).

Решение:

Шаг 1. Преобразуем функцию \( z^2 - 4 \).

Разложим \( z^2 - 4 \) в соответствии с формулой разности квадратов:

\[ z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2). \]

Следовательно, начальная функция принимает вид:

\[ f(z) = \frac{1}{[(z - 2)(z + 2)]^2}. \]

Шаг 2. Ввод переменной \( w = z + 2 \).

Для удобства разложения в ряд Лорана вводим \( z + 2 = w \), тогда \( z - 2 = w - 4 \), и функция \( f(z) \) становится:

\[ f(w) = \frac{1}{[(w)(w - 4)]^2} = \frac{1}{w^2 (w - 4)^2}. \]

Шаг 3. Разложение выражения \(\frac{1}{(w - 4)^2}\) в ряд.

Рассмотрим член \((w - 4)^{-2}\), который необходимо разложить в окрестности \( w = 0 \):

\[ \frac{1}{(w - 4)^2} = \frac{1}{(-4)^2} \cdot \frac{1}{\left(1 - \frac{w}{4}\right)^2}. \]

Используем формулу разложения:

\[ \frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n, \quad \text{где } x = \frac{w}{4}. \]

Подставляем:

\[ \frac{1}{(w - 4)^2} = \frac{1}{16} \cdot \sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac{w}{4}\right)^n = \frac{1}{16} \sum_{n=0}^\infty (n+1)\frac{w^n}{4^n}. \]

Объединяя множители:

\[ \frac{1}{(w - 4)^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{4^{n+2}} w^n. \]

Шаг 4. Подставляем назад в функцию \( f(w) \).

Теперь \( f(w) \) принимает вид:

\[ f(w) = \frac{1}{w^2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{4^{n+2}} w^n. \]

Разделим ряды:

\[ f(w) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{4^{n+2}} w^{n-2}. \]

Переходим обратно к переменной \( z = w - 2 \).

Ответ:

Разложение функции в ряд в окрестности \( z_0 = -2 \) записывается как:

\[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{4^{n+2}} (z+2)^{n-2}. \]