Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням Х

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды Тейлора)

Нужно разложить функцию \ln(1 - x - 12x^2) в ряд Тейлора по степеням x. Для этого воспользуемся стандартным методом разложения логарифмической функции в ряд.

Шаг 1. Условие разложения

Функция \ln(1 - x - 12x^2) может быть разложена в ряд Тейлора, если |x + 12x^2| < 1. Это условие обеспечит сходимость ряда.

Шаг 2. Разложение

Формула для разложения логарифма:  \ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \dots \end{formula> где u = -(x + 12x^2). Подставим u в формулу.

Шаг 3. Разложение функции

Подставляем u = -(x + 12x^2) в формулу:  \ln(1 - x - 12x^2) = -(x + 12x^2) - \frac{(x + 12x^2)^2}{2} - \frac{(x + 12x^2)^3}{3} + \dots 

Шаг 4. Вычисление первых членов ряда

Рассмотрим первые несколько членов разложения:

1. Первый член: -(x + 12x^2) = -x - 12x^2.
2. Второй член:  -\frac{(x + 12x^2)^2}{2} = -\frac{x^2 + 24x^3 + 144x^4}{2} = -\frac{x^2}{2} - 12x^3 - 72x^4. 
3. Третий член:  -\frac{(x + 12x^2)^3}{3} = -\frac{x^3 + 36x^4 + 432x^5 + 1728x^6}{3}. 

Шаг 5. Итоговое разложение

Собираем первые несколько членов:  \ln(1 - x - 12x^2) = -x - 12x^2 - \frac{x^2}{2} - 12x^3 - 72x^4 - \frac{x^3}{3} - 12x^4 - \dots 

Упрощаем:  \ln(1 - x - 12x^2) = -x - 12x^2 - \frac{x^2}{2} - \left(12 + \frac{1}{3}\right)x^3 - \left(72 + 12\right)x^4 + \dots 

Ответ:

Разложение функции в ряд Тейлора по степеням x:  \ln(1 - x - 12x^2) = -x - 12x^2 - \frac{x^2}{2} - \frac{37}{3}x^3 - 84x^4 + \dots