Пазложить функцию f(x)=x на интервале (0;1) в ряд по синусам

Данное задание относится к курсу математического анализа, а точнее, к теме развёртки функций в ряд Фурье, а именно — разложение функции в ряд Фурье по синусам на интервале \( (0; 1) \).

Задано функцию \( f(x) = x \) разложить в ряд по синусам на интервале \( (0; 1) \).

Шаг 1: Формулировка задачи

Разложение функции в ряд Фурье по синусам обычно используется для нечётных функций, либо для обоснованных ситуаций, когда домены изменения функции симметрично ограничены. По условию, мы должны разложить функцию \( f(x) \) в ряд по синусам на интервале \( (0;1) \). Такое разложение по синусам имеет вид: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n\pi x), \] где коэффициенты \( b_n \) вычисляются по следующей формуле (для стандартного интервала \( (0, L) \), в данном случае \( L = 1 \)): \[ b_n = 2 \int_0^1 f(x) \sin(n\pi x) \, dx. \]

Шаг 2: Находим коэффициенты \( b_n \)

По условию, \( f(x) = x \). Нам нужно найти коэффициенты \( b_n \): \[ b_n = 2 \int_0^1 x \sin(n\pi x) \, dx. \] Это интеграл, который нужно вычислить. Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям.

Шаг 3: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям проводится по формуле: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du, \] где \( u = x \), \( dv = \sin(n\pi x) \, dx \). Находим производные и интегралы:

1. \( u = x \), следовательно, \( du = dx \).
2. \( dv = \sin(n\pi x) \, dx \), следовательно, \( v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) \).

Теперь применяем формулу интегрирования по частям: \[ \int_0^1 x \sin(n\pi x) \, dx = \left[ -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) \right]_0^1 + \frac{1}{n\pi} \int_0^1 \cos(n\pi x) \, dx. \]

Шаг 4: Вычисление граничных значений

Подставляем пределы:

1. -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) \, \text{при} \, x=1: \, -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi) = \frac{1}{n\pi} (-1)^n,
2. -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) \, \text{при} \, x=0: \, 0 \, \text{(так как \( x \) умножается на ноль)},

Таким образом, первый член равен \( \frac{(-1)^n}{n\pi} \). Теперь вычисляем второй интеграл: \[ \int_0^1 \cos(n\pi x) \, dx = \left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_0^1 = \frac{\sin(n\pi)}{n\pi} - \frac{\sin(0)}{n\pi} = 0. \] Второй член равен нулю.

Шаг 5: Итог для коэффициента \( b_n \)

Таким образом, коэффициенты \( b_n \) равны: \[ b_n = 2 \cdot \frac{(-1)^n}{n\pi} = \frac{2(-1)^n}{n\pi}. \]

Шаг 6: Итоговое разложение

Теперь мы можем подставить рассчитанные коэффициенты в ряд: \[ f(x) = x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n\pi} \sin(n\pi x). \] Это и есть разложение функции \( f(x) = x \) в ряд по синусам на интервале \( (0; 1) \).