Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Давайте разберемся постепенно с данным заданием. Нам нужно разложить функцию \( f(z) = \frac{1}{(z^2 - 4)^2} \) в ряд в кольце \( 4 < |z+2| < \infty \).
Кольцо \( 4 < |z+2| < \infty \) задает ограничение на комплексное число \( z \), причем расстояние \( |z+2| \) до точки \( -2 \) должно быть больше 4. Это можно назвать внешней областью или кольцевым слоем за пределами окружности радиуса \( 4 \), центрированной в точке \( -2 \).
Мы работаем с функцией: \[ f(z) = \frac{1}{(z^2 - 4)^2}. \]
Заметим, что \( z^2 - 4 \) можно разложить на множители:
\[ z^2 - 4 = (z-2)(z+2). \]
Следовательно,
\[ f(z) = \frac{1}{[(z-2)(z+2)]^2}. \]
Разложение в ряд в кольце \( 4 < |z+2| < \infty \) предполагает, что переменная \( |z+2| \) большая (так как от нас требуют внешнюю область). Это означает, что нам выгодно разложить функцию в ряд относительно переменной \( \frac{1}{z+2} \), так как значение \( \frac{1}{z+2} \) в этом кольце меньше 1 (при больших \( |z+2| \)).
Вначале выражаем \( z - 2 \) через \( z+2 \). Заметим:
\[ z - 2 = (z+2) - 4. \]
Подставляем это в \( f(z) \):
\[ f(z) = \frac{1}{[(z-2)(z+2)]^2} = \frac{1}{[(z+2 - 4)(z+2)]^2}. \]
Обозначим \( w = z+2 \), чтобы упростить запись. Тогда:
\[ f(z) = \frac{1}{[(w - 4)w]^2}. \]
Раскроем знаменатель:
\[ f(z) = \frac{1}{(w^2 - 4w)^2}. \]
Так как мы рассматриваем внешнюю область \( 4 < |w| \), нам удобно работать через малую величину \( \frac{1}{w} \). Разделим знаменатель на \( w^4 \), чтобы получить выражение:
\[ f(z) = \frac{1}{w^4 \left(1 - \frac{4}{w}\right)^2}. \]
Теперь применим разложение в ряд Тейлора для выражения \( \left(1 - \frac{4}{w}\right)^{-2} \). Формула разложения \( (1-x)^{-n} \) дается как:
\[ (1-x)^{-n} = \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{k} x^k. \]
Здесь \( x = \frac{4}{w} \) и \( n = 2 \). Тогда:
\[ \left(1 - \frac{4}{w}\right)^{-2} = \sum_{k=0}^\infty \binom{2+k-1}{k} \left(\frac{4}{w}\right)^k. \]
Коэффициенты \( \binom{2+k-1}{k} \) равны \( 1+k \). Разложение будет:
\[ \left(1 - \frac{4}{w}\right)^{-2} = \sum_{k=0}^\infty (k+1) \frac{4^k}{w^k}. \]
Подставим это разложение в \( f(z) \):
\[ f(z) = \frac{1}{w^4} \cdot \sum_{k=0}^\infty (k+1) \frac{4^k}{w^k}. \]
Обобщим:
\[ f(z) = \sum_{k=0}^\infty (k+1) \frac{4^k}{w^{k+4}}. \]
Возвращаясь к \( w = z+2 \):
Разложение функции \( f(z) = \frac{1}{(z^2 - 4)^2} \) в ряд в кольце \( 4 < |z+2| < \infty \) имеет вид:
\[ f(z) = \sum_{k=0}^\infty (k+1) \frac{4^k}{(z+2)^{k+4}}. \]