Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки

Определение предмета

Данное задание относится к математике, а именно к разделу математического анализа. В этом задании требуется разложить функцию \( f(x) \) в ряд Тейлора в окрестности точки, а также определить область сходимости ряда. Функция, которую нужно разложить, задана как: \[ f(x) = 2 + 7x^{2} \] под корнем с отрицательной степенью: \( f(x) = 2 + 7x^{2} \) под выражением \( ^{-\frac{1}{2}} \), значит: \[ f(x) = \left( 2 + 7x^2 \right)^{-\frac{1}{2}}. \]

Шаг 1: Разложение функции при помощи ряда Тейлора

Ряд Тейлора для функции \( f(x) \) в окрестности точки \( x = a \) задается формулой:

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots \]

Найдем разложение функции \( f(x) = \left( 2 + 7x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \) в окрестности точки \( x = 0 \).

Шаг 2: Вычисление \( f(0) \)

Подставляем \( x = 0 \) в функцию:

\[ f(0) = \left( 2 + 7 \cdot 0^2 \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( 2 \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Шаг 3: Нахождение производных

Теперь вычислим несколько производных функции \( f(x) \), чтобы разложить её в ряд.

Первая производная:

Используем правило дифференцирования сложной функции:

\[ f(x) = \left( 2 + 7x^2 \right)^{-\frac{1}{2}}, \] где внутренняя функция \( g(x) = 2 + 7x^2 \). Формула производной \( (g(x))^n \):

\[ f'(x) = -\frac{1}{2} \left( 2 + 7x^2 \right)^{-\frac{3}{2}} \cdot (14x). \]

Простим производную:

\[ f'(x) = \frac{-7x}{\left( 2 + 7x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}. \]

Теперь находим значение производной в точке \( x = 0 \):

\[ f'(0) = \frac{-7 \cdot 0}{\left( 2 + 7 \cdot 0^2 \right)^{\frac{3}{2}}} = 0. \]

Вторая производная:

Для вычисления второй производной используем результат первой производной:

\[ f'(x) = \frac{-7x}{\left( 2 + 7x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}. \]

Применяем правило произведения и дифференцируем:

\[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-7x}{\left( 2 + 7x^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right). \]

Это требует применения правила дифференцирования частного и цепного правила. Сначала дифференцируем числитель:

\[ \frac{d}{dx}(-7x) = -7. \]

Теперь дифференцируем знаменатель:

\[ \frac{d}{dx}\left( \left( 2 + 7x^2 \right)^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{3}{2}(2 + 7x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (14x). \]

Теперь применяем правило произведения. После упрощения выражения получаем, что:

\[ f''(0) = \frac{-7}{\left( 2 \right)^{\frac{3}{2}}}. \]

Шаг 4: Запись разложения в ряд Тейлора

Слагаемые ряда Тейлора в окрестности точки \( x = 0 \) выглядят следующим образом:

\[ f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \dots \]

Подставляем найденные значения:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 \cdot x + \frac{-7}{2 \cdot \left( 2 \right)^{\frac{3}{2}}} x^2 + \dots \]

После упрощения:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{7}{4 \cdot \sqrt{2}} x^2 + \dots \]

Шаг 5: Определение области сходимости

Так как функция \( f(x) = \left( 2 + 7x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \) имеет корень и знаменатель, ряд Тейлора будет сходиться для значений \( x \), для которых выражение под корнем положительно, то есть:

\[ 2 + 7x^2 > 0. \]

Решаем это неравенство:

\[ 7x^2 > -2 \quad \text{(всегда верно, так как } 7x^2 \geq 0\text{ для всех } x \text{)}. \]

Следовательно, функция определена для всех \( x \), а следовательно, область сходимости ряда — \( \mathbb{R} \) (все действительные числа).

Ответ

Разложение функции \( f(x) = \left( 2 + 7x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \) в ряд Тейлора в окрестности нуля:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{7}{4\sqrt{2}} x^2 + \dots \]

Область сходимости ряда: \( x \in \mathbb{R} \).