Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды Тейлора и разложения в степенные ряды

Задание: Разложить функцию
\[\frac{5}{6 + x - x^2}\]
в ряд Тейлора по степеням x.

Шаг 1: Преобразуем знаменатель

Запишем знаменатель в виде удобном для разложения:

 \[ 6 + x - x^2 = -\left(x^2 - x - 6\right) \] 

Разложим квадратный трёхчлен:

 \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \Rightarrow 6 + x - x^2 = -(x - 3)(x + 2) \] 

Тогда функция примет вид:

 \[ \frac{5}{6 + x - x^2} = \frac{-5}{(x - 3)(x + 2)} \] 

Шаг 2: Разложение в простейшие дроби

Разложим дробь:

 \[ \frac{-5}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} \] 

Умножим обе части на (x - 3)(x + 2):

 \[ -5 = A(x + 2) + B(x - 3) \] 

Подберём A и B:

1. Подставим x = 3:  \[ -5 = A(5) + B(0) \Rightarrow A = -1 \] 

2. Подставим x = -2:  \[ -5 = A(0) + B(-5) \Rightarrow B = 1 \] 

Итак:

 \[ \frac{-5}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{-1}{x - 3} + \frac{1}{x + 2} \] 

Шаг 3: Разложение каждой дроби в степенной ряд

Нас интересует разложение по степеням x в окрестности нуля.

Разложим \frac{1}{x + 2}:

Представим в виде:

 \[ \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2 \left(1 + \frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x}{2}} \] 

Используем формулу разложения:

 \[ \frac{1}{1 + t} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^n, \quad |t| < 1 \] 

Здесь t = \frac{x}{2}, тогда:

 \[ \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{2^{n+1}} \] 

Разложим \frac{1}{x - 3}:

Представим:

 \[ \frac{1}{x - 3} = -\frac{1}{3 - x} = -\frac{1}{3 \left(1 - \frac{x}{3}\right)} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} \] 

Используем формулу:

 \[ \frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n, \quad |t| < 1 \] 

Здесь t = \frac{x}{3}, тогда:

 \[ \frac{1}{x - 3} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{3}\right)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^{n+1}} \] 

Шаг 4: Соберем итоговый ряд

 \[ \frac{5}{6 + x - x^2} = \frac{-1}{x - 3} + \frac{1}{x + 2} = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{2^{n+1}} (-1)^n + \frac{1}{3^{n+1}} \right] x^n \] 

Ответ:

 \[ \frac{5}{6 + x - x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (-1)^n \cdot \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{3^{n+1}} \right] x^n, \quad |x| < 2 \]