Разложить функцию в ряд Маклорена

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды Тейлора и Маклорена

Задание:
Разложить функцию
y = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}
в ряд Маклорена.

Решение:

Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, разложенного в окрестности точки x = 0.
Наша цель — представить функцию f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} в виде бесконечного степенного ряда:

 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 

Для этого воспользуемся стандартной формулой для бинома Ньютона:

 (1 + x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \quad |x| < 1 

Где биномиальные коэффициенты для произвольного показателя \alpha определяются как:

 \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha (\alpha - 1) (\alpha - 2) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} 

В нашем случае:

 f(x) = (1 + x)^{-1/2} 

Применим биномиальный ряд:

 (1 + x)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-1/2}{n} x^n 

Вычислим первые несколько членов ряда:

1. \binom{-1/2}{0} = 1
2. \binom{-1/2}{1} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}
3. \binom{-1/2}{2} = \frac{(-1/2)(-3/2)}{2!} = \frac{3}{8}
4. \binom{-1/2}{3} = \frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)}{3!} = -\frac{5}{16}
5. \binom{-1/2}{4} = \frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)(-7/2)}{4!} = \frac{35}{128}

Подставим в ряд:

 \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \cdots 

Ответ:

 \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-1/2}{n} x^n = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \cdots 

Ряд сходится при |x| < 1.