Разложить функцию в ряд лорана, определить характер особой точки

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Ряды Лорана и классификация особых точек

Постановка задачи:

Нужно разложить функцию f(z) = z^3 \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) в ряд Лорана в окрестности точки z = 0 и определить характер особой точки z = 0.

Шаг 1. Анализ функции

Функция \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) имеет особую точку в z = 0, так как аргумент \frac{1}{z^2} обращается в бесконечность при z \to 0. Умножение на z^3 изменяет поведение функции вблизи этой точки.

Рассмотрим разложение \sin(x) в ряд Тейлора: \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots.

Подставим x = \frac{1}{z^2}, чтобы разложить \sin\left(\frac{1}{z^2}\right): \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) = \frac{1}{z^2} - \frac{\frac{1}{z^6}}{6} + \frac{\frac{1}{z^{10}}}{120} - \cdots.

Умножим это выражение на z^3: f(z) = z^3 \sin\left(\frac{1}{z^2}\right) = z^3 \left(\frac{1}{z^2} - \frac{\frac{1}{z^6}}{6} + \frac{\frac{1}{z^{10}}}{120} - \cdots\right).

Шаг 2. Разложение в ряд Лорана

Упрощаем каждое слагаемое:

1. z^3 \cdot \frac{1}{z^2} = z,
2. z^3 \cdot \frac{\frac{1}{z^6}}{6} = \frac{z^3}{6z^6} = \frac{1}{6z^3},
3. z^3 \cdot \frac{\frac{1}{z^{10}}}{120} = \frac{z^3}{120z^{10}} = \frac{1}{120z^7}, и так далее.

Итак, ряд Лорана: f(z) = z - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^7} - \cdots.

Шаг 3. Характер особой точки

Особая точка z = 0 является существенной особой точкой, так как в ряде Лорана присутствует бесконечное количество членов с отрицательными степенями z, что свидетельствует о наличии существенной особенности.

Ответ:

1. Ряд Лорана функции f(z) в окрестности z = 0: f(z) = z - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^7} - \cdots.
2. Характер особой точки z = 0: существенная особая точка.