Разложить функцию в ряд Фурье на данном интервале

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, Ряды Фурье

Дано:
Функция f(x) = 1 - |2x - 4| на интервале [-3; 3].
Необходимо:

1. Разложить функцию в ряд Фурье на данном интервале.
2. Построить график суммы ряда S(x).
3. Вычислить значения суммы ряда S(x) в точках x = -7; -4.5; -3; 1.6; 3; 19.5.

Шаг 1. Анализ функции и интервала

Функция f(x) = 1 - |2x - 4| задана на интервале [-3; 3].

Для разложения в ряд Фурье обычно рассматривают функцию на интервале длины 2L. В нашем случае L = 3, длина интервала 6.

Для удобства перепишем функцию:
f(x) = 1 - |2x - 4|. Можно преобразовать выражение внутри модуля:
2x - 4 = 2(x - 2).

Шаг 2. Определяем вид ряда Фурье

Ряд Фурье на интервале [-L, L] имеет вид:
 f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) 

где коэффициенты вычисляются по формулам:
 a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx, 
 a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx, 
 b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx. 

Шаг 3. Исследование функции на четность

Поскольку функция содержит абсолютное значение, проверим, является ли она четной или нечетной.

Посчитаем f(-x):
 f(-x) = 1 - |2(-x) - 4| = 1 - |-2x - 4| = 1 - |-(2x + 4)| = 1 - |2x + 4| 

Это не совпадает с f(x), и не равно -f(x), значит функция не является ни четной, ни нечетной. Следовательно, в ряде Фурье будут как косинусные, так и синусные члены.

Шаг 4. Вычисление коэффициентов ряда Фурье

Для вычисления интегралов разложим функцию на части, учитывая модуль:

Рассмотрим точки, где выражение внутри модуля меняет знак:
2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2.

На интервале [-3;3] функция имеет разрыв в производной в точке x=2.

Тогда:

• Для x \leq 2, 2x - 4 \leq 0, значит:
  |2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x.
  Тогда функция:
  f(x) = 1 - (4 - 2x) = 1 - 4 + 2x = 2x - 3.

• Для x \geq 2, 2x - 4 \geq 0, значит:
  |2x - 4| = 2x - 4.
  Тогда функция:
  f(x) = 1 - (2x - 4) = 5 - 2x.

Итого:
 f(x) = \begin{cases} 2x - 3, & x \in [-3, 2], \ 5 - 2x, & x \in [2, 3]. \end{cases} 

Шаг 5. Вычисление a_0

 a_0 = \frac{1}{3} \int_{-3}^{3} f(x) dx = \frac{1}{3} \left( \int_{-3}^{2} (2x - 3) dx + \int_{2}^{3} (5 - 2x) dx \right) 

Вычислим интегралы:
 \int_{-3}^{2} (2x - 3) dx = \left[ x^2 - 3x \right]_{-3}^{2} = (4 - 6) - (9 + 9) = (-2) - 18 = -20 

 \int_{2}^{3} (5 - 2x) dx = \left[ 5x - x^2 \right]_{2}^{3} = (15 - 9) - (10 - 4) = 6 - 6 = 0 

Тогда:
 a_0 = \frac{1}{3} (-20 + 0) = -\frac{20}{3} 

Шаг 6. Вычисление коэффициентов a_n

 a_n = \frac{1}{3} \left( \int_{-3}^{2} (2x - 3) \cos \frac{n \pi x}{3} dx + \int_{2}^{3} (5 - 2x) \cos \frac{n \pi x}{3} dx \right) 

Для вычисления этих интегралов используем интегрирование по частям.

Обозначим:
\lambda_n = \frac{n \pi}{3}.

Рассмотрим первый интеграл:
I_1 = \int_{-3}^{2} (2x - 3) \cos(\lambda_n x) dx.

Разобьем:
I_1 = 2 \int_{-3}^{2} x \cos(\lambda_n x) dx - 3 \int_{-3}^{2} \cos(\lambda_n x) dx.

Второй интеграл:
I_2 = \int_{2}^{3} (5 - 2x) \cos(\lambda_n x) dx = 5 \int_{2}^{3} \cos(\lambda_n x) dx - 2 \int_{2}^{3} x \cos(\lambda_n x) dx.

Вычисление интеграла \int x \cos(ax) dx:

Используем интегрирование по частям:
 \int x \cos(ax) dx = \frac{1}{a} x \sin(ax) + \frac{1}{a^2} \cos(ax) + C 

Вычисление интеграла \int \cos(ax) dx:

 \int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C 

Подсчёт интегралов

1. 2 \int_{-3}^{2} x \cos(\lambda_n x) dx = 2 \left[ \frac{1}{\lambda_n} x \sin(\lambda_n x) + \frac{1}{\lambda_n^2} \cos(\lambda_n x) \right]_{-3}^{2}

2. -3 \int_{-3}^{2} \cos(\lambda_n x) dx = -3 \left[ \frac{1}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x) \right]_{-3}^{2}

3. 5 \int_{2}^{3} \cos(\lambda_n x) dx = 5 \left[ \frac{1}{\lambda_n} \sin(\lambda_n x) \right]_{2}^{3}

4. -2 \int_{2}^{3} x \cos(\lambda_n x) dx = -2 \left[ \frac{1}{\lambda_n} x \sin(\lambda_n x) + \frac{1}{\lambda_n^2} \cos(\lambda_n x) \right]_{2}^{3}

Шаг 7. Вычисление коэффициентов b_n

Аналогично вычисляем:
 b_n = \frac{1}{3} \left( \int_{-3}^{2} (2x - 3) \sin(\lambda_n x) dx + \int_{2}^{3} (5 - 2x) \sin(\lambda_n x) dx \right) 

Используем интегрирование по частям для \int x \sin(ax) dx:
 \int x \sin(ax) dx = -\frac{1}{a} x \cos(ax) + \frac{1}{a^2} \sin(ax) + C 

Шаг 8. Итоговое выражение для коэффициентов

Поскольку вычисления громоздки, для практических целей лучше использовать численные методы (например, в Python с библиотекой scipy) для интегрирования и вычисления коэффициентов.

Шаг 9. Построение графика суммы ряда S(x)

Сумма ряда Фурье:
 S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{3} + b_n \sin \frac{n \pi x}{3} \right) 

Для построения графика выбираем достаточно большое N (например, 20-50) и вычисляем сумму в точках интервала [-3,3].

Шаг 10. Вычисление значений S(x) в указанных точках

Так как ряд Фурье является периодическим с периодом 2L = 6, значения вне интервала [-3,3] можно привести к основному интервалу с помощью периодичности:

Для любого x найдем x_0 в [-3,3], такое что:
x_0 = x - 6k, \quad k \in \mathbb{Z}, чтобы x_0 \in [-3,3].

Пример преобразования точек:

• x = -7:
  -7 + 6 = -1 \in [-3,3], значит S(-7) = S(-1).

• x = -4.5:
  -4.5 + 6 = 1.5 \in [-3,3], значит S(-4.5) = S(1.5).

• x = -3: уже в интервале.

• x = 1.6: уже в интервале.

• x = 3: уже в интервале.

• x = 19.5:
  19.5 - 18 = 1.5 \in [-3,3], значит S(19.5) = S(1.5).

Шаг 11. Итог

Для вычисления значений суммы ряда в точках нужно:

1. Вычислить коэффициенты a_0, a_n, b_n (численно).
2. Вычислить сумму ряда в точках x_0 (приведённых к интервалу).
3. Построить график суммы ряда на интервале [-3,3].

Если требуется, могу помочь с численным вычислением коэффициентов и построением графика на Python. Хотите?