Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье и комплексной формой ряда Фурье

Данное задание относится к предмету математического анализа, а именно, к разделу, связанному с разложением функций в тригонометрический ряд Фурье и комплексной формой ряда Фурье.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. Ядро Дирихле \( D_n(x) \) не является \(\pi\)-периодической и нечётной функцией. Чтобы проверить это утверждение:

• Ядро Дирихле в общем виде \(D_n(x) = \frac{\sin((n + 1/2)x)}{\sin(x/2)}\).
• \(D_n(x)\) является нечётной функцией, так как \( D_n(-x) = -D_n(x) \).
• Важно отметить, что функции, определяемые с использованием синуса, часто имеют периоды, зависящие от функции модулирующей синусоиды, в данном случае это \((n + 1/2)x \).
• \(D_n(x)\) является \(2\pi\)-периодической.

Таким образом, утверждение неверно.

2. Коэффициент \( a_k(f) \) разложения функции \( f \) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке \([-π, π]\) может быть вычислен по формуле \[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx \, dx, \quad k \in \mathbb{N} \cup \{0\}. \] Это утверждение говорит об определении коэффициентов Фурье \(a_k\) для косинусов. Для тригонометрического разложения (ряда Фурье):

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)\right), \] где \(a_k\) (коэффициент перед \(\cos(kx)\)) вычисляется по формуле: \[ a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(kx) \, dx. \]

Таким образом, данное утверждение верно.

3. В рамках условий леммы Римана справедливо, что модуль коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме \( |a_k| \) при \( k \to +\infty \). Лемма Римана гласит, что если функция \( f \) кусочно-гладкая и кусочно-непрерывна, то коэффициенты Фурье \( a_k \) убывают по модулю при \( k \to \infty \). Таким образом:

\[ |a_k| \to 0 \quad \text{при} \quad k \to \infty. \]

Значит, это утверждение тоже неверно.

Ответ: Верное утверждение только одно - номер 2.