Разложение функции в ряд Тейлора (или Маклорена)

Предмет задания: Математический анализ

Раздел: Разложение функции в ряд Тейлора (или Маклорена).

Задание:

Разложить функцию \( f(x) = \sin \frac{x}{2} \) в ряд по степеням \( x \), указать значение \( a_4 \) (коэффициент при \( x^4 \)).

Решение:

Разложим функцию \( f(x) = \sin \frac{x}{2} \) в ряд Маклорена (особый случай ряда Тейлора для точки \( x = 0 \)):

1. Выражение для ряда Маклорена для синуса:

\[\sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \dots,\] где \( u = \frac{x}{2} \).

Подставим \( u = \frac{x}{2} \):

\[\sin \frac{x}{2} = \frac{x}{2} - \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^3}{3!} + \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^5}{5!} - \dots\]

2. Вычислим первые члены разложения:

\[\frac{x}{2} - \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^3}{6} + \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^5}{120}.\]

Разложим подробнее:

• Первый член: \( \frac{x}{2} \),
• Второй член: \( - \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^3}{6} = - \frac{x^3}{48} \),
• Третий член: \( \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^5}{120} = \frac{x^5}{3840} \).

Ряд:

\[\sin \frac{x}{2} = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{48} + \frac{x^5}{3840} - \dots\]

3. Коэффициент \( a_4 \):

Внимание, \( a_4 \) – это коэффициент при \( x^4 \). Такого члена в разложении нет (так как ряд синуса содержит только нечётные степени). Следовательно:

\[a_4 = 0.\]

Ответ:

\[a_4 = 0.\]

Рассчитаем до четвёртой степени (чтобы найти коэффициент \( a_4 \)):