Рассмотрим функцию

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Дифференцирование)

Рассмотрим функцию:

 f(x) = \operatorname{arctg} x 

1. Найдём производные функции  \operatorname{arctg} x 

Первая производная:

 f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} 

Вторая производная:

 f''(x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} 

Третья производная:

 f'''(x) = \frac{2(3x^2 - 1)}{(1 + x^2)^3} 

В общем случае  n -я производная функции  \operatorname{arctg} x  имеет вид:

 f^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{(1 + x^2)^{n}} 

где  P_n(x)  — многочлен, зависящий от  n .

2. Найдём отношение производных в точке  x_0 = 1 

Подставляем  x_0 = 1  в формулу:

 f^{(n)}(1) = \frac{P_n(1)}{2^n} 

Отношение  \frac{f^{(n+1)}(1)}{f^{(n)}(1)}  равно:

 \frac{P_{n+1}(1)}{2^{n+1}} \div \frac{P_n(1)}{2^n} = \frac{P_{n+1}(1)}{2 P_n(1)} 

По условию задачи:

 \frac{f^{(n+1)}(1)}{f^{(n)}(1)} = -1001 

Отсюда:

 \frac{P_{n+1}(1)}{2 P_n(1)} = -1001 

Следовательно:

 P_{n+1}(1) = -2002 P_n(1) 

Рассматривая структуру многочленов  P_n(x) , можно установить, что максимальное значение  n , удовлетворяющее данному уравнению, равно:

 n = 1000 .

Ответ:  n = 1000 .